Алгебра (стр. 1 )

АЛГЕБРА

2 курс, 3 семестр

2005/2006

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Множества. Операции над множествами

2. Отображения

3. Бинарные отношения.

4. Отношение эквивалентности

5. Алгебраическая форма комплексного числа

6. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа

7. Бинарные алгебраические операции. Полугруппа

8. Группы

9. Кольца, поля

10. Операции над матрицами

11. Перестановки. Детерминант

12. Обратная матрица. Матричные уравнения. Решение систем линейных уравнений

1. Множества. Операции над множествами

Задача 1. Найти , , , , если

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , .

Задача 2. Найти все подмножества множества {1,2,3}.

Задача 3. Доказать, что для произвольного множества А справедливы следующие равенства:

1) ; 4) ø = ø;

2) ; 5) ø;

3) ø =A; 6) ø = ø.

Задача 4. Доказать, что для произвольных множеств А, В и С выполняются следующие равенства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ø;

7) .

Задача 5. Выполняются ли следующие равенства для произвольных множеств А, В, С? Если не выполняются, то в какую сторону имеет место включение?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задача 6. Доказать, что для произвольных множеств А и В

1) ø;

2) ø .

Задача 7. Из 100 студентов 28 изучают английский язык, 30 – немецкий, 42 – французский, 8 – английский и немецкий, 10 – английский и французский, 5 – немецкий и французский и 3 студента изучают все 3 языка. Сколько студентов не изучает ни одного языка? Сколько студентов изучает только французский язык?

Задача 8. Пусть А – множество решений уравнения , В – множество решений уравнения . Выразить через А и В множество решений:

1) уравнения ;

2) уравнения ;

3) системы уравнений , .

Задача 9. Сколько подмножеств в n-элементном множестве?

Задача 10. Пусть В – произвольное множество, – некоторые множества, которые проиндексированы с помощью элементов множества I . Доказать:

1) ;

2) .

Задача 11. Каким условиям должны удовлетворять множества А и В, чтобы выполнялись равенства:

1) ;

2) ;

3) ?

2. Отображения

Задача 1. Пусть П – плоскость с прямоугольной системой координат Oxy, – проектирование точек плоскости на ось Ox параллельно оси Oy. Является ли инъективным, сюръективным или биективным отображением? Найти , , .

Задача 2. Исследовать на инъективность, сюръективность, биективность отображение . Если не является биективным отображением, то изменить и , чтобы получилось биективное отображение. Какие из этих отображений являются обратимыми? Для каждого обратимого отображения найти обратное:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , ;

11) , ;

12) , ;