Алгебра (стр. 3 )

Задача 5. Исследовать на рефлексивность, симметричность и транзитивность следующие бинарные отношения:

1) "параллельность" на множестве прямых плоскости;

2) "перпендикулярность" на множестве прямых плоскости;

3) "=" на множестве действительных чисел R;

4) "<" на множестве действительных чисел R;

5) "" на множестве действительных чисел R;

6) "пересечения" на множестве прямых плоскости;

7) "подобие" на множестве треугольников плоскости;

8) "" на множестве подмножеств универсального множества.

Задача 6. Найти область определения и множество значений каждого из следующих отношений, заданных на множестве . Исследовать отношения на рефлексивность, симметричность и транзитивность:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задача 7. Для каждого из следующих отношений найти область определения и множество значений . Какими свойствами (рефлексивность, симметричность, транзитивность) обладают следующие отношения:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ;

10) .

Задача 8. Для каждого из следующих отношений найти область определения и множество значений . Какими свойствами (рефлексивность, симметричность, транзитивность) обладают следующие отношения:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

Задача 9. На множестве построить следующие типы бинарных отношений:

1) рефлексивное, симметричное, транзитивное; 2) нерефлексивное, симметричное, нетранзитивное; 3) нерефлексивное, несимметричное, нетранзитивное.

Задача 10. На множестве задано бинарное отношение . Исследовать отношение на рефлексивность, симметричность и транзитивность. Если оно не является рефлексивным (симметричным, транзитивным), то какими парами его нужно дополнить, чтобы оно стало рефлексивным (соответственно, симметричным, транзитивным).

4. Отношение эквивалентности.

Задача 1. Доказать, что отношение является отношением эквивалентности. Описать классы эквивалентности.

Задача 2. Доказать, что если – отношение эквивалентности на множестве А, то – тоже отношение эквивалентности на множестве А.

Задача 3. Доказать, что пересечение отношений на множестве А является отношением эквивалентности на множестве А.

Задача 4. Пусть и – отношения эквивалентности на множестве X. Доказать или опровергнуть, что , являются отношениями эквивалентности.

Задача 5. Доказать следующие свойства классов эквивалентности:

1) ; 2) ; 3) классы эквивалентности либо совпадают, либо пересекаются.

Задача 6. Доказать, что если – рефлексивное и транзитивное отношение на множестве X, то – отношение эквивалентности.

Задача 7. Являются ли следующие отношения отношениями эквивалентности:

1) ; 2) ;

3) и принадлежат одной горизонтальной прямой.

Задача 8. На множестве R задано бинарное отношение . Является ли это отношение отношением эквивалентности? Если это отношение является отношением эквивалентности, то описать его классы эквивалентности.

Задача 9. Является ли отношение на множестве всех действительных функций на отрезке [0,1] отношением эквивалентности, если:

1) ;

2) ;

3) .

Задача 10. Пусть , , , . Написать множество всех пар из , принадлежащих соответствующему отношению эквивалентности.

5. Алгебраическая форма комплексного числа.

Задача 1. Найти , , , , если , .

Задача 2. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ;