Алгебра (стр. 6 )

Задача 7. Найти fg, gf, f -1 , g -1, g -2 f 3, если f, g – следующие преобразования множества Х:

1) ;

2).

Задача 8. Найти произведение подстановок и записать его в виде :

1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (3,5);

2) (1,5) (2,3) (2,3) (2,3) (1,5);

3) (1,2) (3,4,5) (7,8);

4) (1,2,5) (1,2,4) (1,2,3).

Задача 9. Составить таблицу Кэли для закона композиции на группе симметрий: 1) квадрата; 2) ромба.

Задача 10. Доказать, что каждое со следующих множеств с законом композиции, заданным таблицей Кэли, является группой:

1) ,

	e	a
e	e	a
a	a	e

2) ,

	e	a	b
e	e	a	b
a	a	b	e
b	b	e	a

Задача 11. Является ли группой множество , если операция на нем задана таблицей:

1)

	a	b	с	d
a	a	b	с	d
b	b	d	a	с
с	с	a	d	b
d	d	с	b	a

2)

	a	b	с	d
a	a	b	с	d
b	b	c	d	a
с	с	d	a	b
d	d	a	b	c

Задача 12. Докажите, что множество функций , где , , , , с операцией композицией преобразований является группой.

9. Кольца, поля.

Задача 1. Являются ли кольцом (полем) следующие множества: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ?

Задача 2. Являются ли кольцом (полем) следующие множества: 1) ; 2) ; 3) ?

Задача 3. В кольце, образованном множеством чисел вида , где , выяснить, будут ли обратимы элементы: 1) ; 2) ? Найти все обратимые элементы этого кольца.

Задача 4. Является ли кольцом(полем) каждое из следующих множеств: 1) , ; 2) , ; 3) , ?

Задача 5. Доказать, что множество со следующими операциями является коммутативным кольцом с 1:

1) ,

;

2) ,

.

Задача 6. Пусть А– аддитивная абелева группа. Определим на А операцию умножения: для произвольных . Доказать, что множество А с этими операциями является кольцом.

Задача 7. Докажите, что каждое из следующих множеств действительных функций на , , , является кольцом с 1:

1) множество непрерывных функций;

2) множество четных функций;

3) множество полиномов;

4) множество полиномов степени ;

5) множество всех дифференцируемых функций;

6) множество всех ограниченных функций.

Определить пары колец, у которых одно является подкольцом другого.

Задача 8. Доказать, что в поле нет делителей нуля.

Задача 9. Доказать, что множество Р* всех нулевых элементов поля является мультипликативной группой.

Задача 10. Доказать, что в поле : 1) ; 2) .

10. Операции над матрицами.

Задача 1. Вычислить (АВ)С и А(ВС).

Задача 2. Вычислить АВ и ВА.

Задача 3. Вычислить , если:

1) ;

2) .

Задача 4. Возведите в степень: 1) ; 2) .

Задача 5. Доказать, что являются кольцами.

Задача 6. Доказать, что кольцо.

Задача 7. Является ли кольцом множество ?

Задача 8. Вычислить А+В, АВ, (А+3В)2, если

Задача 9. Пусть . Доказать, что .

Задача 10. Найти матрицы, перестановочные с матрицей .

11. Перестановки. Детерминант.

Задача 1. Посчитать количество инверсий в перестановке:

1) (2, 1, 3, 4, 5, 9, 8, 6, 7);

2) (2, 5, 8, 1, 4, 7, 3, 6, 9);

3) (1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8);

4) (7, 5, 4, 6, 1, 2, 3, 9, 8);

5) (9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1);

6) (n, n-1, n-2, …, 2, 1).

Задача 2. Определить, какие из следующих произведений являются членами детерминанта 7-го порядка, и указать знак члена детерминанта:

1) ;

2) .

Задача 3. Вычислить детерминант .

Задача 4. Вычислить детерминант, используя только определение: .

Задача 5. Вычислить детерминант, используя только определение: .

Задача 6. Вычислить детерминант, используя только определение:

..

Задача 7. Вычислить детерминант .

Задача 8. Вычислить детерминант:

.

Задача 9. Найти коэффициент при в значении определителя:

.

Задача 10. Вычислить детерминант:

12. Обратная матрица. Матричные уравнения. Решение систем линейных уравнений

Задача 1. Найти обратную матрицу:

Задача 2. Доказать, что, если AKnn, A-1, BKmn, то уравнение XA=B, имеет единственное решение U=B A-1.

Задача 3. Если в уравнени AXB=C, AKnn, A-1 , BKmn,B-1, CKnm, тогда уравнение имеет единственное решение W=A-1 CB-1.

Задача 4. Решить систему с помощью формул Крамера:

Задача 5. Решить систему методом обратной матрицы:

Задача 6. Решить систему методом Гаусса:

Задача 7. Решить систему линейных уравнений:

Задача 8. Решить систему линейных уравнений:

Задача 9. Решить систему линейных уравнений:

Задача 10. Решить систему линейных уравнений: