Механика вращательного движения (стр. 2 )

, (6)

где – радиусы-векторы, модули которых совпадают с радиусами окружностей, по которым движутся элементы АТТ .

         Момент импульса имеет единицу измерения кг·м2/с (килограмм-метр в квадрате на секунду).

Полученный вид выражения (6) не вполне удобен для описания вращательного движения, так как импульсы , в свою очередь, также зависят от , потому что, чем дальше точки АТТ отстоят от оси вращения, тем большие пути они проходят за один и тот же промежуток времени. Соответственно тем больше их скорости. Поэтому за меру перемещения АТТ за малый промежуток времени  принимают угловое перемещение (вектор элементарного поворота)  (рис. 4). По модулю он равен углу  поворота АТТ вокруг оси вращения за время dt, а его направление связано с направлением вращения АТТ правилом правого винта.

Отсюда за кинематическую характеристику направления и быстроты вращения АТТ естественно принять вектор

 , (7)

который называют вектором угловой скорости. Его направление совпадает с направлением  (рис. 4).

Угловая скорость имеет единицу измерения рад/с (радиан в секунду).

В механике принято записывать производные физических величин по времени в сокращенном виде, а именно:

. (7′)

Такая сокращенная запись производных по времени будет использована и здесь.

В случае равномерного вращения АТТ (= const, то есть когда угол поворота АТТ прямо пропорционален времени вращения и ) вводят специальные кинематические характеристики: период вращения Т и частота вращения .

Они находятся из соотношений

Т =, (8)

то есть период вращения – это промежуток времени, в течение которого АТТ совершает один оборот, поэтому измеряется в секундах, и

ν =, (9)

то есть частота показывает, сколько оборотов совершит АТТ за единицу времени. Ее единицей измерения является с-1 (секунда в минус первой степени).*)

Для дополнительной характеристики неравномерного вращения (const) используют вектор

, (10)

который называют вектором углового ускорения. По смыслу определения (10) он характеризует быстроту изменения  во времени. Направление  либо совпадает с , если  сонаправлен с , либо противоположно , если направление  противоположно .

Угловое ускорение имеет единицу измерения рад/с2 (радиан на секунду в квадрате).

На основании определения (7)-(7′) можно связать  АТТ с линейной скоростью  какой-либо его точки (рис. 4). За время  точка, мгновенное положение которой определялось , переместится по дуге окружности длиной , которой соответствует центральный угол . Поэтому при учете определения (7):

.

Но, с другой стороны, из определения мгновенной скорости точки АТТ

.

Из сравнения правых частей последних формул следует связь: .

С учетом того, что , а вектор перпендикулярен обоим векторам  и , можно переписать эту связь в векторном виде:

. (11)

 

В формуле (11) нижние индексы у и  опущены, так как очевидно, что она справедлива не только для выделенной на рис. 4 точки АТТ, но и для любой другой.

Дифференцирование формулы (11) по времени дает связи между линейными составляющими ускорения произвольной точки АТТ и угловыми характеристиками вращения АТТ в целом:

.

 

Но так как = и  (, – соответственно, тангенциальная и нормальная составляющие полного ускорения ), то понятно, что

 , (12)

 

=. (13)

Теперь выражениям (4) и (6) можно придать другой вид, основываясь на результатах формул (11) и (12):

 

=*).

 

Сумма в правой части зависит от распределения массы АТТ относительно оси вращения и является характеристикой его материала, формы и размера. Ее называют моментом инерции I АТТ относительно заданной оси вращения. Тогда можно записать, что

. (14)

Полученный результат называют основным законом динамики вращательного движения. Из него, в частности, следует, что I является мерой инертности АТТ в его вращении относительно оси.

Аналогичные преобразования можно сделать и для выражения (6):

. (15)

Из дифференцирования выражения (15) по времени вытекает, что

. (16)

Если внешние силы таковы, что =0, то =const. Это утверждение называют законом сохранения момента импульса (количества движения).