Механика вращательного движения (стр. 3 )

При конкретных расчетах I АТТ, масса которого m и плотность  непрерывно распределены по объему V, выражение I= сводится к интегралам:

I=. (17)

 

При изменении оси вращения АТТ, естественно, изменяется и I. Его изменение легко найти, если известен момент инерции I0 АТТ относительно оси, проходящей через центр масс, а другая ось, для которой ищется новый I, параллельна ей:

, (18)

где m – масса АТТ; – расстояние между осями.

Формулу (18) называют теоремой Гюйгенса–Штейнера.

На практике чаще всего приходится иметь дело с телами, обладающими осевой симметрией, или с комбинациями таких тел. Так как момент инерции (как и масса тела) является аддитивной величиной, то есть момент инерции составного АТТ равен сумме моментов инерции составляющих тел, то, рассчитав заранее  характерных тел, можно, опираясь на теорему (18) и на свойство аддитивности I, просто находить моменты инерции механических систем для заданных осей вращения.

Кинетическая энергия  АТТ, связанная с вращением вокруг неподвижной оси, определяется, очевидно, суммой вкладов его отдельных элементов , движущихся с линейными скоростями . Поэтому, с учетом результата (11):

,

 

где n – число элементов массы, на которые разбивается АТТ.

Окончательно, с использованием понятия момента инерции, кинетическая энергия АТТ:

. *) (19)

Так как изменение кинетической энергии определяется работой внешних сил А, то за время dt ими будет совершена элементарная работа

=Iωdω=Iωdt. Или с учетом определений (7), (10) и закона динамики вращения (14):

. (20)

Если , то интегрирование связи (20) дает

А=М׀׀, (21)

где М׀׀ – сумма проекций моментов внешних сил, определенных выражением (4), на ось вращения АТТ. Эти проекции считаются положительными, если соответствующий момент связан с угловым перемещением (поворотом на угол ) правилом правого винта. В противном случае вклады проекций моментов считаются отрицательными.

2. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТЕЛ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ

СИММЕТРИИ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ЦЕНТР МАСС

 

1. Прямой цилиндр с тонкими однородными стенками (или однородный обруч, кольцо с тонкими стенками) массой m и радиусом r.

 

.

 

2. Прямой сплошной однородный цилиндр (или однородный диск) массой m и радиусом r.

 

.

 

3. Тонкий однородный стержень массой m и длиной .

m

 

4. Плоская однородная пластина в виде прямоугольника массой m со сторонами  и b.

 

; .

 

5. Плоская однородная пластина в виде прямоугольника (или однородный параллелепипед) массой m со сторонами  и b.

			m

 

 

	b

 

().

6. Однородный шар массой m и радиусом r.

 

...

 

7. Сфера с тонкой однородной оболочкой массой m и радиусом r.

 

.

 

8. Кольцо с тонкими стенками (окружность) массой m и радиусом r.

 

.

 

9. Тонкий однородный диск массой m и радиусом r.

.

 

10. Прямой сплошной однородный цилиндр массой m, радиусом r и длиной (высотой) .