Механика вращательного движения (стр. 4 )

m

r

./.

 

 

 

3. ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Предлагаемые ниже задания основываются на практическом применении законов кинематики (7)–(13) и динамики (14)–(16), (19), (21) вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси или материальной точки по окружности. Кроме того, в отдельный блок включены задачи на расчет моментов инерции тел сложных форм или простых, но относительно осей, не совпадающих с осью симметрии. Основой такого расчета является определение момента инерции, теорема (18) и формулы для приведенных выше примеров.

Задания расположены в порядке возрастания трудности.

 

3.1. Кинематика вращательного движения

 

1.  Точка АТТ, двигаясь по окружности радиусом 0,6 м с постоянным тангенциальным ускорением, достигла скорости 0,2 м/с через 2 с после начала движения. Каковы будут нормальное и полное ускорения спустя ещё 2 с? Найти угол между этими векторами. Сделать рисунок.

2.  Зависимость угла поворота от времени радиуса-вектора точки, лежащей на ободе колеса, описывается законом j=1+bt+ct2+dt3, где b=2 рад/с; c=0,5рад/с2; d=1 рад/с3. К концу 3 с точка испытывала нормальное ускорение, равное 158 м/с2. Определить радиус колеса.

3.  Радиус-вектор точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения АТТ, поворачивается, описывая угол j=b+ct+dt2, где b=10 рад; c=20 рад/с; d=-2 рад/с2. Найти модуль и направление вектора полного ускорения через 4 с. Сделать рисунок.

4.  Нормальное ускорение точки АТТ, движущейся по окружности радиусом 4 м, задаётся уравнением n=b+ct+dt2, где b=1 м/с2; c=6 м/с3; d=9 м/с4. Определить ее тангенциальное ускорение, полное ускорение через 1 с и путь, пройденный в течение 5 с после начала движения.

5.  Обод радиусом 10 см вращается так, что линейная скорость его точек меняется во времени по закону v=bt+ct2, где b=0,3 м/с2; c=0,1 м/с3. Найти угол, который будет образовывать вектор полного ускорения с радиусом через 2 с. Сделать рисунок.

6.  Колесо радиусом 10 см приходит в движение, вращаясь с угловым ускорением 3,14 рад/с2. Найти для точек на ободе колеса через 1 с угловую скорость, линейную скорость, тангенциальное и нормальное ускорения, а также угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом. Сделать рисунок.

7.  Точка АТТ движется по окружности радиусом 2 см. Зависимость пути от времени в СИ задаётся уравнением s=0,1t3. Найти нормальное и тангенциальное ускорения в момент, когда линейная скорость точки равна 0,3 м/с.

8.  Длина пути, проходимого точкой АТТ, подчиняется уравнению s=bt+ct2, где b=-2 м/с; c=1 м/с2. Найти через 3 с после начала движения линейную скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения, если известно, что через 2 с нормальное ускорение точки было 0,5 м/с2.

9.  Точка АТТ движется по окружности со скоростью v=bt, где b=0,5 м/с2. Найти её полное ускорение в момент, когда она пройдёт 0,1 длины окружности после начала движения.

10.  Найти угловое ускорение колеса, если оказалось, что через 2 с после начала движения вектор полного ускорения некоторой его точки составил 600 с её линейной скоростью.

11.  Тонкий обруч катится под гору с угловым ускорением 2 рад/с2. Через 0,5 с после начала движения полное ускорение его точек достигло значения

13,6 см/с2. Найти радиус обруча.

12.  АТТ вращается по закону j=bt+ct3, где b=6 рад/с; c=-2 рад/с3. Найти средние значения его угловой скорости и углового ускорения от начала вращения до остановки и угловое ускорение в момент остановки.

13.  Ротор электродвигателя, вращавшийся с частотой 955 об/мин, после его выключения остановился через 10 с. Считая, что частота вращения убывала со временем линейно, найти угловое ускорение ротора и его число оборотов до остановки.

14.  Найти угловое ускорение турбины через 15 с после её пуска, если линейная скорость лопатки турбины, расположенной на расстоянии 1000 мм от оси вращения, изменяется по закону v=bt+ct2, где b=2 м/с2; c=0,8 м/с3.

 

3.2. Динамика вращательного движения

3.2.1. Основной закон динамики

 

1.   Тонкий однородный стержень длиной 50 см и массой 400 г вращается с угловым ускорением 3 рад/с2 вокруг оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент.

2.   На горизонтальную неподвижную ось насажены маховик и легкий шкив радиусом 5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой 0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошел путь 1,8 м за время 3 с. Определить момент инерции маховика. Массу шкива считать пренебрежимо малой.

3.   Вал массой 100 кг и радиусом 5 см вращается с частотой 8 с-1. К цилиндрической поверхности вала прижимается тормозная колодка с силой 40 Н, под действием которой вал остановился через 10 с. Определить коэффициент трения колодки о вал.

4.   К ободу однородного сплошного диска радиусом 0,5 м приложена постоянная касательная сила 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения 2 Н∙м. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с2.

5.   Шар радиусом 10 см и массой 5 кг вращается вокруг оси симметрии так, что зависимость угла поворота радиуса от времени определяется законом φ=b+сt2+dt3, где c=2 рад/с2; d=−0,5 рад/с2. Определить момент сил, действовавших через 3 с после начала вращения.

6.   Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Зависимость угла поворота диска от времени дается уравнением φ = b + сt + dt2, где d=2 рад/с2. Вращению диска противодействует тормозящий момент сил трения, равный 1 Н·м. Определить величину касательной силы, приложенной к ободу диска.

7.   Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг∙м2, вращается с частотой 20 с-1. В некоторый момент времени на него стала действовать тормозящая сила, в результате чего колесо через 1 мин остановилось. Радиус колеса равен 0,2 м. Найти величину тормозящего момента силы и число полных оборотов, сделанных колесом до остановки.

8.   К ободу колеса радиусом 0,5 м и массой 50 кг приложена касательная сила 98,1 Н. Найти угловое ускорение колеса. Через какое время после начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения 100 с-1? Колесо считать однородным диском. Трением пренебречь.

9.   Маховик радиусом 0,2 м и массой 10 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Сила натяжения ремня, идущего без скольжения, равна 14,7 Н. Какую частоту вращения будет иметь маховик через 10 с после начала движения? Маховик считать однородным диском. Трением пренебречь.

10. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок с радиусом 20 см и моментом инерции 50 кг·м2. Момент сил трения вращающегося блока составляет 98,1 Н·м. Найти разности сил натяжения нити по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением 2,36 рад/с2. Блок считать однородным диском.

3.2.2. Закон сохранения момента импульса

 

11. Горизонтальная платформа массой 25 кг и радиусом 0,8 м вращается с частотой 18 об/мин. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшил свой момент инерции от 3,5 кг·м2 до 1 кг·м2.

12. Человек массой 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10 об/мин, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определить, с какой частотой станет вращаться платформа.

13. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси, являющейся осью симметрии. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы?

14. Человек стоит на вращающейся платформе. В вытянутых в противоположные стороны руках он держит по гире, масса каждой из которых равна 5 кг. Расстояние от гирь до оси вращения 0,71 м. Во сколько раз изменится частота вращения, если человек прижмет к себе руки так, что расстояние от оси вращения до гирь уменьшится до 0,2 м? Момент инерции человека в обоих случаях считать равным 1 кг·м2.

15. Человек стоит в центре скамьи Жуковского (табуретки с винтовой осью) и вместе с ней вращается по инерции с частотой 0,5 с-1. Момент инерции человека относительно оси вращения 1,6 кг·м2. В вытянутых в противоположные стороны руках он держит по гире массой по 2 кг каждая. Расстояние между гирями 1,6 м. Определить частоту вращения скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь.