Метрическая морфология (стр. 5 )

Размерность геодезических многообразий в пространстве форм-разбиений

Назовем размерностью геодезедического многообразия максимальное количество l геодезических многообразий, прямое объединение элементов которых дает в итоге данное геодезическое многообразие.

Утверждение 4. dim D(F,G) = rang FÚG, причем

D(F,G) = Èk=1,..,l D(FÇWk,GÇWk),

где W=FÚG, l = rang FÚG.

Доказательство основано на том, что каждому независимому «подкадру» Wk соответствует независимое геодезическое подмногообразие, которое может быть построено независимо от всех остальных. При этом любая форма VÎD(F,G) может быть представлена в виде объединения разбиений, взятых независимо из кажого геодезического подмногообразия.

Следствие. D(F,G) Í Èk=1,..,l T(FÇWk,GÇWk), где W=FÚG.

Данное следствие существенно уточняет верхнюю оценку мощности многообразия D(F,G), полученную ранее в Утверждении 3.

Обобщенные EMD-метрики для сравнения форм-разбиений

Назовем EMD-метрикой сравнения форм-разбиений (Earth Mover’s Shape Distance, EMDS-метрика) EMD метрику следующего вида:

dEMSD(F,G) = åj=1,..,m åi=1,..,n KW(Fi,Gj) dE(Fi, Gj), (11)

где

KW(Fi,Gj) = Sij / S – нормированный коэффициент значимости пары областей Fi и Gj для оценки сходства разбиений F и G (он тем выше, чем больше площадь FiÇGj);

dE(Fi, Gj) – любая базовая (Earth) метрика dE, позволяющая попарно сравнивать яркостно-геометрические особенности областей Fi и Gj.

Подобным образом можно формировать различные яркостно-геометрические EMDS-метрики для сравнения форм-разбиений с различными специфическими атрибутами (яркостными, геометрическими, текстурными и т.п.) Все они будут частными случаями EMD-метрик, опирающимися на свойства форм-разбиений, выделяющие их из множества всех «гистораммоподбных» дескрипторов изображений.

EMD-метрика для сравнения форм-разбиений с упорядоченной или частично упорядоченной яркостью

Пусть изображения из F и G имеют вид

f(x,y) = åi=1,..,n fi cFi(x,y),

g(x,y) = åj=1,..,m gj cGj(x,y)

с упорядоченными по возрастанию значениями яркости {f1,…,fn} и {g1,…,gm}.

Тогда для каждой области Fi Gj и можно определить функцию относительной яркости

mFi(x,y) = {-1, если f(x,y)<fi;

0, если f(x,y)=fi;

1, если f(x,y)>fi}.

mGj(x,y) = {-1, если g(x,y)<gj;

0, если g(x,y)=gj;

1, если g(x,y)>gj}.

Определим расстояние между двумя областями в форме с упорядоченной яркостью как норму разности этих трехзначных функций

dm(Fi, Gj) = || mFi(x,y) – mGj(x,y) ||,

а соответствующее EMDS-расстояние между двумя формами-разбиеними с частично или полностью упорядоченной яркостью как

dm(F,G) = åj=1,..,m åi=1,..,n KW(Fi,Gj) || mFi(x,y) – mGj(x,y) ||. (12)

 

EMD-метрики в пространстве форм-разбиений
как L1-метрики в пространстве форм-отношений

Еще один возможный способ сравнения форм-разбиений основан на переходе от их описания в форме разбиения (т.е. множества неперсекающихся областей кадра) к описанию в форме отношений точек изображения друг к другу. Примерами бинарных отношений могут служить отношения «больше/меньше по яркости» или «равны/неравны по яркости». Формализм подобных форм, заданных бинарными отношениями был разработан в работах Каркищенко и др. [4], однако в этих работах не рассматривались ни задачи сравнения форм по сложности и проецирования формы на форму, ни задачи сравнения форм-отношений между собой при помощи соответствующих мер различия (метрик) или сходства (коэффициентов корреляции). Попробуем восполнить этот пробел.

 

Резюме II части доклада «Метрическая морфология»

·         Для оценки степени геометрического различия форм предложено специализированное трансформационное расстояние (метрика редактирования), которое определяет метрическое пространство форм-разбиений и позволяет достаточно адекватно решать задачи их геометрического сравнения.

·         Исследованы свойства геодезических многообразий и выявлена их связь с рангом корреляции форм-разбиений.

·         Введен класс EMD-метрик для форм-разбиений, в том числе – для форм-разбиений с упорядоченной или частично упорядоченной яркостью.

·         Показан способ «естественного» определения метрик для форм-разбиений в случае их описания формами-отношениями.

 

Литература

[1] , Чуличков морфологического анализа изображений // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. 336с.

[2] Y. Rubner, C. Tomasi, and L. J. Guibas. “The Earth Mover’s Distance as a Metric for Image Retrieval”, International Journal of Computer Vision, 40(2):99-121, 2000.

[3] Каркищенко и др.…