Метрическая морфология (стр. 1 )

 

МЕТРИЧЕСКАЯ МОРФОЛОГИЯ

 

2. Метрические пространства форм-разбиений

 

, ,

 

ГосНИИАС, 2011

 

Резюме I части доклада «Метрическая морфология»

·         Предложен обобщенный коэффициент яркостно-геометрической корреляции, который позволяет в качестве частных случаев получить как нормированный линейный коэффициент корреляции, так и квадрат морфологического коэффициента корреляции изображений.

·         Описан стереометрический способ морфологического корреляционного сравнения форм-разбиений на основе анализа собственных чисел оператора, представляющего собой суперпозицию соответствующих формам морфологических проекторов.

·         Предложен способ морфологического сравнения форм-разбиений на основе статистического усреднения проецируемых изображений и получено выражение для среднеквадратичного эффективного коэффициента морфологической корреляции форм-разбиений.

·         Предложенные симметричные нормированные коэффициенты геометрической корреляции форм-разбиений.

·         Предложен способ корреляционного сравнения форм-разбиений с упорядоченной яркостью.

 

Описание формы изображения как «формы-разбиения»

Форма кусочно-постоянного изображения

f(x,y) = åi=1,..,n fi cFi(x,y),

где n – число областей разбиения F кадра W на связные непересекающиеся области постоянной яркости, F={F1,…,Fn}; f=(f1,…,fn) – вектор действительных значений яркости, соответствующих каждой области разбиения; cFi(x,y)Î{0,1} – характеристическая функция i-й области яркости:

cFi(x,y) = {1, если (x,y)ÎFi;

0 – в противном случае}.

 

«Формы-разбиения» как классы изображений. Проекции

Множество изображений одной формы разбиения кадра F – выпуклое и замкнутое подпространство FÍL2(W):

F = { f(x,y) = åi=1,..,n fi cFi(x,y), fÎRn}.

Для любого изображения g(x,y)ÎL2(W) может быть определена проекция на форму F:

gF(x,y) = PF g(x,y) = åi=1,..,n gFi ci(x,y),

gFi = (cFi,g) / || cFi ||2, i=1,…,n.

PF – оператор проекции или проектор на F.

«Формы-разбиения» и их свойства

В рамках данной работы:

- геометрические формы (формы-разбиения кадра) – первичны;

- соответствующие линейные подпространства и проекторы – вторичны.

Формы-разбиения частично упорядочены по сложности:

Определена «решетка» форм-разбиений, в которой для любых двух форм F и G можно указать форму более сложную FÙG и менее сложную FÚG.

Более сложные формы получаются из менее сложных разбиением,

менее сложные из более сложных – слиянием областей.

 

Является ли множество форм-разбиений линейным пространством?

Казалось бы, поскольку кусочно-постоянные изображения образуют линейное пространство с базисом из характеристических функций, а формы разбиения и есть наборы этих характеристических функций, то множество форм-разбиений должно было бы образовывать некоторое подпространство пространства кусочно-постоянных изображений. Однако легко убедиться, что на самом деле это не так.

Множество характеристических функций (принимающих значения только на множестве {0,1}) замкнуто относительно умножения на скаляр, принимающий значения из {0,1}, но принципиально незамкнуто относительно операции сложения. Поэтому формы-разбиения не образуют линейного пространства, которое позволило бы корректно ввести коэффициент их корреляции, основанный на скалярном произведении.

 

Действительно ли формы-разбиения описываются линейными подпространствами в пространстве изображений?

Рис.1. Пример комбинации форм: линейная комбинация не совпадает с более сложной формой.

 

Пусть

F = { f(x,y) = åi=1,..,n fi cFi(x,y), fÎRn}.

G = { g(x,y) = åj=1,..,m gj cGj(x,y), gÎRm}.

 

Более сложная форма:

FÙG = { åi=1,..,n åj=1,..,m wij cFi(x,y)cGj(x,y), wÎRn´m }

имеет размерность n´m и является формой-разбиением.

 

Линейная комбинация форм:

F + G = { åi=1,..,n fi cFi(x,y) + åj=1,..,m gj cGj(x,y), fÎRn, gÎRm }.

имеет размерность n+m и не является формой-разбиением, поскольку не имеет базиса, состоящего из характеристических функций, описывающих разбиение кадра на неперсекающиеся области, покрывающие весь кадр.

 

Вывод: формы-разбиения на самом деле не описываются адекватно линейными подпространствами в пространстве изображений.

 

Могут ли классы форм образовывать метрическое пространство? Простейший частный случай

KN(f,g) = (f,g) / (|| f || || g ||) = cos(f Ù g),

KM(g,F) = || PF g || / || g || = cos(g Ù gF),

KM(f,G) = || PG f || / || f || = cos(f Ù fG),

где (f Ù g) – угол между векторами f и g в рассматриваемом линейном пространстве.

Рис.2. Геометрическая иллюстрация полной схемы соотношений между линейной и морфологической корреляцией.

 

Могут ли Пытьевские классы форм образовывать метрическое пространство? Простейший частный случай

Нормированный коэффициент линейной корреляции

KN(f,g) = (f,g) / (|| f || || g ||).

Нормированный коэффициент линейной корреляции с центрированием

KN(f - f0,g - g0) = (f - f0,g - g0) / (|| f - f0 || || g - g0 ||).

Нормированное центрированное изображение

f*(x,y) = (f(x,y) - f0) / || f(x,y) - f0 ||.

KN(f*,g*) = (f*,g*).

Класс «линейных форм»

F = { f(x,y) = f0 + f1 f*(x,y), f0,f1ÎR}.

Проекция изображения на линейную форму

g(x,y) = g0 + g1 g*(x,y),

gF(x,y) = g0 + (f*,g*) f*(x,y).

Морфологический коэффициент корреляции с центрированием

KM(g,F) = || PF g* || / || g* || = || gF(x,y) – g0 || / || g(x,y) – g0 || = | KN(f - f0,g - g0) |.

 

Могут ли Пытьевские классы форм образовывать метрическое пространство? Простейший частный случай

Рис.3. Метрика линейных форм в R2.

 

Могут ли Пытьевские классы форм образовывать метрическое пространство? Простейший частный случай

Рис.4. Метрика линейных форм в R4.

 

Расстояние между формами:

d(F,G) = f Ù g,

где f Ù g – длина дуги большого круга на единичной окружности от f* до g* или, что то же самое, угол между векторами f и g в рассматриваемом линейном пространстве.

 

Неравенство треугольника:

d(F,G) £ d(F,W) + d(W,G).

 

Связь метрики и коэффициента корреляции:

KM(g,F) = KM(f,G) = KN(f,g) = | cos(f Ù g) | = | cos( d(F,G) ) |,

то есть в данном частном случае коэффициент морфологической корреляции изображений однозначно определяется метрикой форм.

 

Следствие: неравенство треугольника для коэффициентов корреляции:

| KN(f,g) | ³ KN(f,w) KN(w,g) – Ö(1 – K2N(f,w)) Ö(1 – K2N(w,g))

поскольку

cos(a + b) = cos(a) cos(b) – sin(a) sin(b),

sin(a) = Ö(1 – cos2(a)).

 

Могут ли формы-разбиения образовывать метрическое пространство? Простейшая метрика слияния-разбиения областей

 

Искомая метрика должна соответсвовать «решетке» форм-разбиений:

Для любых двух форм F и G можно указать форму более сложную FÙG и менее сложную FÚG. Более сложные формы получаются из менее сложных разбиением, менее сложные из более сложных – слиянием областей.