Теория и техника радиолокации и радионавигации (стр. 11 )

Полезный сигнал s(t; υ(t), ψ(t)) содержит г информационных υi(t) и m мешающих параметров ψi(t), объединенных соответственно в г - и m-мерные векторы. По результатам анализа y(t) необходимо вынести решение о том, какие значения имеют полезные параметры сигнала s(t; υ(t), ψ(t)) в текущий момент времени t. Если все параметры υi(t) постоянны на интервале наблюдения, то описанную процедуру называют оценкой параметров сигнала. В случае же, когда зависимостью υ(t) пренебречь нельзя и требуется отслеживание мгновенных значений меняющихся информационных параметров, такую процедуру называют (фильтрацией сообщений).

Из-за вероятностного характера условий, сопутствующих измерению, ошибки, т. е. отклонения измеренных значений параметров от истинных, содержат случайную составляющую, не поддающуюся компенсации с помощью калибровок, эталонных замеров и пр. Поэтому объект, осуществляющий измерение (измеритель), должен придерживаться такой стратегии, при которой негативные последствия, обусловленные случайной природой ошибок, были бы по возможности минимизированы. Таким образом, необходимо сформулировать оптимальные в некотором смысле правила измерения параметров сигналов.

4.2. Байесовские оценки случайных параметров сигналов

Предположим, что сигнал не содержит никаких мешающих параметров, т. е. что все его неизвестные параметры являются информационными и, следовательно, подлежат измерению. При этом сигнал оказывается вполне детерминированной функцией аргумента t и измеряемых параметров υ(t) и в его записи s(t; υ(t)) символ ψ(t) не участвует.

Пусть постоянный в течение времени наблюдения информационный параметр является векторной случайной величиной υ = (υ1 ,υ2,…υ r)Т - априорная r-мерная ПВ которой W0(Х) известна. Напомним, что эта ПВ не связана с наблюдаемой реализацией y(t) и показывает лишь, с какой частотой следует ожидать появления сигнала s(t; υ) с теми или иными значениями параметра X.

Как указывалось, задача измерителя состоит в том, чтобы по наблюдению y(t) измерить (оценить) векторный параметр υ. Отметим, что термин «оценка» в литературе используется двояко: им называют и саму процедуру измерения, и ее результат , т. е. измеренное значение υ, выдаваемое в качестве решения. Уточним, как следует формировать оценку , чтобы последствия ее расхождения с истинным значением υ были минимальны. При этом ограничимся изучением лишь нерандомизированных (детерминированных) правил оценки, согласно которым однозначно определяется видом наблюдаемого колебания y(t): = F(y(t)), (4.1)

где F[-] - детерминированный оператор, отображающий множество реализаций y(t) в r-мерное пространство оценок = (1, 2 ,… r)Т. Таким образом, формулирование оптимального в некотором смысле правила оценки υ состоит в отыскании подходящего оператора F[•].

Чтобы проследить общность задачи оценки параметра сигнала с ранее изученными, допустим, что υ принимает лишь дискретные значения из конечного множества {υ1, υ2, ..., υм} мощности М. Тогда оценить параметр υ - значит указать, какой из М возможных детерминированных сигналов s1(t) = s(t; υ1) , s2(t) = s(t; υ2) присутствует в y(t). Следовательно, оценка дискретного параметра υ есть просто различение М сигналов, и потому для отыскания оптимального правила (4.1) можно воспользоваться уже освоенным аппаратом гл. 2. Если формулу (2.1) переписать как

=υk υi (4.2)

и под Р(υi) понимать априорную вероятность выпадения значения υi параметра υ, т. е. появления сигнала si(t)=s(t; υi), под Р( = υk|υi) - условную вероятность выдачи в качестве оценки υ значения υk при условии, что в сигнале, содержащемся в y(t), параметр υ = υi, а под Пik — плату (штраф, риск, ущерб) за несовпадение измеренного значения = υk с истинным υi, то оператор в (4.1), минимизирующий сумму (4.2), обеспечит получение оценок, оптимальных по минимуму среднего риска . Такие оценки называют байесовскими.

Перейдем к оценке непрерывного случайного параметра X, принимающего значения из континуального множества. При этом, как легко понять, речь вновь идет о различении сигналов, с той лишь разницей, что последние образуют не конечное множество, а континуум. Действительно, измерить параметр υ - значит по-прежнему указать, какой именно из возможных сигналов s(t; υ), отличающихся друг от друга значением υ, присутствует в y(t). Очевидно, можно приспособить критерий (4.2) и к этому случаю, осуществив предельный переход от дискретных переменных к непрерывным и трактуя сумму (4.2) как интегральную. Для этого введем функцию потерь П(υ, ) показывающую, какой платой (штрафом, риском, ущербом) оборачивается несовпадение оценки с истинным значением параметра υ. Пусть также W(|υ) - условная г-мерная ПВ оценки при условии, что истинным является значение оцениваемого параметра, равное υ. Тогда при предельном переходе Р(υi) следует заменить на W0(υ)dυ, а Р( = υk|υi) — на W(|υ)d, что приведет к выражению для среднего риска

(4.3)

Очевидно, теперь оптимальной (байесовской) оценкой следует считать ту, которая минимизирует средний риск (4.4). Попытаемся выяснить, что собой представляют байесовские оценки параметров детерминированных сигналов. При этом не нужно отдельно рассматривать случаи непрерывных и дискретных параметров, поскольку для последних можно воспользоваться представлением ПВ в виде суммы взвешенных δ-функций: (4.4)

Подстановка этих выражений в равенство (4.3) с учетом фильтрующего свойства δ-функции преобразует его в выражение (4.2).

Согласно теореме умножения вероятностей для случайных величин, W0(υ)W(|υ) = W()W(υ/), где W() - безусловная ПВ оценки ; W(υ/), - условная ПВ случайной величины υ при условии, что оценкой является значение . Тогда в соответствии с (4.3)

(4.5)

Внутренний интеграл можно записать и как

(4.6)

поскольку соотношение (4.2) связывает оценку с видом наблюдаемого колебания y(t) и, следовательно, условная ПВ W(υ/)= W(υ/F(y(t))). Величина является условным математическим ожиданием функции потерь П(υ/), вычисленным для фиксированной реализации y(t) усреднением по всем возможным значениям случайного параметра υ; как и дискретный аналог ее называют условным средним риском. Как видно, оценка, для которой условный средний риск минимален для любой заданной реализации y(t), минимизирует и безусловный средний риск (4.5). Поэтому байесовские оценки можно отыскивать из условия минимума выражения (4.6).

Очевидно, чем более полога ПВ тем меньшего доверия заслуживает информация о υ, получаемая из y(t). При высокой точности измерений кривая W(υ/y(t)) почти для всех реализаций y(t) имеет острый пик, расположенный в окрестности истинного значения υ.

Для конкретизации правил байесовской оценки параметров сигнала следует прежде всего выбрать определенную функцию потерь П(υ,), Этот, казалось бы, ответственный шаг, не поддающийся полной формализации, должен учитывать как степень адекватности избранного критерия П(υ,), реальному представлению о качестве функционирования данной системы, так и сложность реализации соответствующего правила. Рассмотрим две наиболее "часто упоминаемые в литературе разновидности функции потерь.