Теория и техника радиолокации и радионавигации (стр. 13 )

(4.15)

Это выражение и определяет границу Крамера — Рао. Несмещенную оценку, для которой неравенство (4.15) превращается в равенство, называют эффективной. Необходимым и достаточным условием эффективности оценки служит обращение в равенство неравенства Буняковского – Шварца, возможное тогда и только тогда, когда

(4.16)

где k(υ) — некоторая функция υ, [но не y(t)].

Величину (4.24) называют информацией Фишера. Таким образом, никакая несмещенная оценка не может обладать условной дисперсией, меньшей величины, обратной информации Фишера.

4.4. Оценки по максимуму правдоподобия

Требование (4.16) накладывает жесткие ограничения на вид ФП: преобразуя его, можно убедиться, что равносильным необходимым и достаточным условием существования эффективной оценки скалярного параметра υ, является принадлежность W(у(t)/υ) к довольно специфическому (экспоненциальному) классу функций. Более того, при несуществовании эффективной оценки не всегда удается построить несмещенную оценку, хотя бы удовлетворяющую критерию (4.15), предписывающему минимизировать условную дисперсию равномерно по υ (т. е. одновременно для всех истинных значений υ). Возможны случаи, когда в одной области значений υ лучшим будет одно правило оценки, а в другом — другое. Аналогичные выводы можно сделать и для векторного параметра υ. Однако в практических задачах измерения, как правило, должны выполняться с высокой точностью, для достижения которой экспериментатор заранее принимает необходимые меры. Такой мерой при радиотехнических измерениях является обеспечение достаточной длительности наблюдений или заметного превышения помех сигналом. В подобных условиях наблюдателя может удовлетворить правило оценки, гарантирующее несмещенность и равномерный по υ минимум условной дисперсии асимптотически, т. е. при неограниченном увеличении интервала анализа или уровня сигнала. Именно такими асимптотически оптимальными свойствами и обладает оценка по максимуму правдоподобия (ОМП).

В качестве ОМП измеряемого вектора υ берут значение υ, максимизирующее ФП для наблюдаемой реализации y(t). Как отмечалось, оценка параметров сигнала есть разновидность различения сигналов, поэтому алгоритм ОМП не нов — это разновидность введенного в п. 2.2 правила МП, распространенного и на континуальные множества различаемых сигналов. Поскольку максимум ФП достигается на тех же υ, что и максимум логарифма ФП, правило ОМП можно записать в виде

W(y(t)/) = max lnW(y(t)/υ).

В теории оценок доказывается, что при выполнении некоторых достаточно общих условий регулярности ФП (в частности, дифференцируемости по всем υi) относительно ОМП справедливы следующие утверждения:

1.ОМП — асимптотически несмещенная;

2. ОМП параметров υi асимптотически совместно эффективны;

3. ОМП параметров υi асимптотически совместно нормальны с корреляционной матрицей К, обратной информационной матрице Фишера: К = Ф-1.

Здесь термин «асимптотически» означает соблюдение условий достижения высокой точности измерений; он является кратким эквивалентом словосочетания «при большом времени наблюдения или большой энергии сигнала». Следовательно, во-первых, наблюдатель, заинтересованный в надежных измерениях, может принять в качестве оптимальной стратегию формирования оценки по максимуму правдоподобия, причем уверенность в том, что эта оценка наилучшая, будет тем более обоснованной, чем больше время наблюдений или энергия сигнала, и, во-вторых, условные дисперсии ОМП, асимптотически стремящиеся к границам Крамера - Рао, при точных измерениях могут рассчитываться как правые части неравенств (4.16).

Перечислим дополнительно некоторые важные свойства ОМП:

1. если строго (а не только асимптотически) эффективная оценка существует, то ОМП и является этой оценкой.

2. ОМП инвариантна к замене переменных.

3. ОМП являются асимптотически байесовскими оценками.

Изложенное позволяет рассматривать правило ОМП как универсальную и безотказную методику оценки параметров сигналов. Являясь эффективной в тех случаях, когда эффективная оценка существует, ОМП в условиях надежных измерений обладает практически наилучшими характеристиками, в том числе и в байесовском смысле

4.5. Вычисление дисперсий оценок и функции неопределенности

Как указывалось ранее, оценка по максимуму правдоподобия эффективна всякий раз, когда строго эффективная оценка вообще существует. Однако во всех случаях выполнения условий регулярности ОМП асимптотически эффективна. Таким образом, можно считать дисперсию ОМП совпадающей с границей Крамера-Рао. При существовании эффективной оценки это совпадение абсолютно точно, в других же случаях дисперсия ОМП тем ближе к названной границе, чем информативнее наблюдения, т. е. чем правомернее ориентир на асимптотическую эффективность ОМП. Как отмечалось, для проявления механизма асимптотической эффективности необходимо заметное превышение энергией сигнала интенсивности шума либо достаточная продолжительность наблюдений. Полагая требования, гарантирующие равенство (точное или приближенное) дисперсии ОМП границе Крамера-Рао, соблюденными, конкретизируем выражения для последней применительно к измерениям параметров сигнала, маскируемого аддитивным белым шумом.

Матрица Фишера , i, k=1-r, (4.17)

где q2 =2E/N0 – отношение сигнал/шум на выходе согласованного с сигналом s(t;υ) фильтра, а функция

(4.18)

- называется функцией неопределенности (ФН) сигнала s(t; υ) по параметру υ. Очевидно, ФН есть коэффициент корреляции двух копий сигнала s(t ; υ), имеющих различные значения (υ0 и υ) измеряемого параметра υ. Кроме того, |χ (υ0 , υ)|≤ |χ (υ0 , υ0)|=1.

Дисперсия ОМП равна

Таким образом, повышению точности ОМП скалярного параметра υ способствует, с одной стороны, увеличение энергии сигнала, т. е. величины q, а с другой — применение таких сигналов, у которых ФН имеет по возможности острый пик (большую по абсолютному значению отрицательную вторую производную) в точке υ = 0.

4.6. Элементы теории фильтрации параметров сигналов

Как указывалось ранее, фильтрацией называют измерение текущих значений параметров сигнала, меняющихся в процессе наблюдения. Таким образом, целью фильтрации является формирование оценки (t) значения зависящей от времени величины (в общем случае векторной) υ(t)=(υ1(t),..., υг(t))T, входящей в качестве параметра в сигнал s(t; υ(t)). Сигнал доступен наблюдателю в смеси с помехой, так что колебание, на основании которого должна быть построена искомая оценка (t), описывается вариантом соотношения (4.1) y(t) = F[s(t; υ(t)), x(t)], (4.19)

которое в теории фильтрации называют уравнением наблюдения. Отметим, что, распространив на задачу фильтрации идеи, изложенные в п. 4.2, мешающие параметры сигнала ψ(t) можно присовокупить к информационным, увеличив размерность вектора последних. Поэтому в (4.19) мешающие параметры самостоятельно не фигурируют.

Из приведенного определения ясно, что текущая оценка (t) в процессе фильтрации формируется исходя из всей полученной вплоть до момента t информации, т. е. с учетом значений наблюдаемой реализации у(ξ) при всех ξ<t.

Родственной является задача прогнозирования или экстраполяции, когда по наблюдениям у(ξ) вплоть до момента t требуется предсказать будущее значение параметра υ(t + τ) при τ>0. Если измеряют значения параметра в моменты времени, предшествующие t(υ(t — τ), τ>0), то такую процедуру называют сглаживанием или интерполяцией.

К фильтрации сводятся многие классические радиотехнические задачи. Так, в традиционных системах передачи непрерывной информации (радиовещание, телевидение, радиосвязь и т. д.) передаваемое сообщение модулирует тот или иной параметр излучаемых высокочастотных колебаний, на приемной же стороне для восстановления сообщения осуществляют демодуляцию, состоящую в непрерывном отслеживании амплитуды, частоты или фазы (в зависимости от вида модуляции) колебаний, т. е. фильтрацию названных параметров. В то же время теория фильтрации используется и для решения сложных задач, таких, как обработка информации в многозвенных комплексах, объединяющих разнородные системы. Для того чтобы исследовать задачу фильтрации перепишем уравнение наблюдения (4.68) в векторной форме: y(t) = s(t; υ(t)) + x(t).

В этой записи учтена возможность получения информации о υ(t) из разнородных наблюдений, т. е. из множества N параллельно наблюдаемых реализаций yi(t) процессов, записанных как одна реализация
N-компонентного векторного колебания y(t)=(y1(t), y2(t), yN(t))T

Независимо от конкретного содержания той
или иной задачи удобно считать, что каждому скалярному
колебанию yl(t) отвечает свой индивидуальный l-и канал. Каждая из реализаций, т. е. каждый из N каналов, содержит свой полезный сигнал sl(t;υ(t)); являющийся детерминированной функцией t и измеряемого
параметра υ(t). Все N сигналов сведены в одну N-компонентную векторную функцию - сигнал s(t;υ(t))=(sl(t;υ(t));s2(t;υ(t), sN(t;υ(t)))т- Помеха в (4.69) также представлена в векторной форме x(t)=(x1(t), x2(t), xN(t))T так как в каждом из N каналов присутствует свой шумовой компонент. Появление в (4.69) знака плюс вместо оператора F[.,.] указывает на то, что далее помеха х(t) будет считаться аддитивной: yl(t) = sl(t;υ.(t)) + xl(t), 1=1, 2, ..., N.