Механика жидкости и газа (стр. 3 )

Однако, с точки зрения общности, жидкости и газы называют одним термином – жидкость, различая, когда это необходимо, на несжимаемые и сжимаемые жидкости. В сжимаемой жидкости может иметь место изменение как ее формы, так и объема.

КИНЕМАТИКА

Кинема́тика (греч. κινειν — двигаться) в физике – раздел механики, изучающий движение идеализированных тел (материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальная жидкость) с геометрической точки зрения без выяснения причин движения (массы, сил и т. д.). Исходные понятия кинематики – пространство и время. Главной задачей кинематики является математическое определение положения и характеристик движения точек или тел в пространстве и во времени. Фундамент классической кинематики заложил итальянский ученый Галилео Галилей (1564–1642).

В кинематике рассматривают два основных метода описания движения жидкости: метод Лагранжа (1736–1813) и метод Эйлера (1707–1783).

По методу Лагранжа следят за движением отдельной жидкой частицы. В некоторый (начальный) момент времени t0 каждая из жидких частиц маркируется путем присвоения ей значений координат в данный момент времени: х0 = а, у0 = b, z0 = c. В дальнейшем прослеживается движение каждой жидкой частицы индивидуально. Движение жидкой частицы будет выясненным, если в каждый момент времени t > t0 известно ее местонахождение (координаты х, у,z):

;

;

.

Начальные координаты a, b,c выделенной частицы в момент времени t0 называют переменными Лагранжа.

Составляющие проекций скорости рассматриваемой частицы на координатные оси декартовой прямоугольной системы координат имеют вид:

, , . (2)

Аналогично, составляющие ускорения на соответствующие координатные оси запишутся в виде:

, , . (3)

В формулах (2) и (3) при дифференцировании параметры a, b,c являются постоянными, следовательно, x, y,z и зависят только от времени.

Методом Лагранжа, например, определяют в интересуемый момент времени координаты запускаемых аппаратов (метеорологические радиозонды, спутники и пр.).

По методу Эйлера следят в неподвижной точке пространства (гидрологический пост, метеостанция) за изменением характеристик движущегося потока жидкости в этой точке. Частицы жидкости, проходящие через точку (x, y,z) в последовательные моменты времени, будут обладать определенными скоростями . Поэтому в данной точке скорость есть функция времени . Но скорость неодинакова для различных точек пространства, а потому в общем случае она должна быть функцией четырех переменных

. (4)

Переменные x, y,z, t называют переменными Эйлера. Дифференцируя (4), получим ускорение

.

Используя обозначения имеем:

(5)

Проектируя (5) последовательно на координатные оси, получим формулы для компонентов ускорения жидкой частицы:

(6)

Все члены в (5) и (6) имеют специальные названия:

	– индивидуальная (субстанциональная, полная) производная с указанными в скобках компонентами – проекциями вектора скорости на соответствующие координатные оси;
	– локальная (местная, или частная) производная, характеризующая изменение рассматриваемой величины с течением времени в данной точке пространства;
	– конвективная производная,

которой соответствуют скалярные записи в равенствах (6):

.

Конвективная производная появляется вследствие перемещения частицы жидкости в неоднородном поле рассматриваемой величины, причем, в свою очередь, она распадается на адвекцию (перенос по горизонтали – производные по х и y) и конвекцию (перенос по вертикали – производная по z).

Уравнения (5)–(6) можно записать в виде:

(7)

(8)

Здесь – оператор градиента, действующий на соответствующую функцию .

Из последних записей (7)–(8) видно, что конвективная производная может возникнуть только в неоднородном движущемся поле.

Движение жидкости будет стационарным (установившимся), если скорости частиц жидкости явным образом не зависят от времени, т. е. или, что то же, . В противном случае – движение нестационарное (неустановившееся).

Двум описаниям движения жидкости соответствуют и две ее геометрические характеристики: траектория и линия тока.

Траектория – линия, по которой движется жидкая частица в течение некоторого отрезка времени (пространственный след, оставляемый жидкой частицей). В переменных Лагранжа траекторию можно определить, используя соотношения (2), благодаря которым можно записать:

. (9)

Система уравнений (9) – это дифференциальные уравнения траектории движения частицы.

Интегрируя (9) и разрешая относительно x, y, z, получим:

,

где С1, С2, С3 – константы интегрирования, значения которых можно определить из заданных начальных условий. Исключая из последней системы уравнений время t, найдем траекторию жидкой частицы.

Линия тока – линия, проведенная в жидкости в данный момент времени так, что скорости всех частиц, находящихся на этой линии, направлены по касательным к этой линии.

Дифференциальные уравнения линии тока:

. (10)

Время t в (10) – фиксированный параметр.

Таким образом, линии тока характеризуют картину движения в данный момент времени, а траектории – пространственный след движущейся частицы во времени.

Через каждую точку поля скоростей, в которой функции не обращаются в нуль, в данный момент времени проходит только одна линия тока. Исключение составляют точки, через которые проходит несколько и даже бесчисленное количество линий тока. Эти точки называются особенными.

В качестве примера особых точек, где скорость равна нулю, можно указать на разветвления потока, охватывающего тело в его начале и конце. Эти точки называют критическими (рис. 1).

Другим примером особой точки является так называемый точечный источник (рис. 2, а) или точечный сток (рис. 2, б).

Рис. 1. Обтекание тела

Источником называется точка, из которой в каждый момент времени непрерывно и равномерно выделяется жидкость и растекается по радиусам во все стороны (см. рис. 2, а). Стоком называется точка, в которой жидкость в каждый момент времени непрерывно и равномерно поглощается одинаково по всем направлениям (см. рис. 2, б). Стрелки на линиях показывают направление течения жидкости.