Механика жидкости и газа (стр. 7 )

(35)

– в векторной форме.

В скалярной (координатной) форме (35) можно переписать:

(36)

В (35) и (36) – коэффициент внутреннего трения или динамический вязкости; часто рассматривают и называют кинематическим коэффициентом вязкости,

– оператор Лапласа.

Уравнения движения жидкости в форме (1851–1889), профессора Казанского университета, позволили записать уравнения движения в более удобном виде за счет возможности выделения из конвективной производной слагаемых, описывающих вихревое движение. Так как преобразованиям подвергается только конвективная производная, записанная в левой части уравнений движения, а правая часть уравнений остается неизменной, то запись в форме Громека справедлива как для уравнений движения идеальной жидкости (в форме Эйлера), так и уравнений движения вязкой жидкости (в форме Навье и Навье – Стокса). Простой и изящный вывод уравнений движения в форме Громека можно показать на уравнениях движения идеальной жидкости в форме Эйлера. Запишем модуль скорости через его проекции

или . (37)

Продифференцировав последовательно выражение (37) по и разделив обе части полученного уравнения на 2, имеем:

Из последних уравнений найдем:

В уравнения движения Эйлера (31) подставим последние выражения и проведем группировку членов:

(38)

Разности в скобках – суть проекции вихря (ротора) скорости на координатные оси:

, , ,

поэтому систему уравнений (38) можно переписать в следующем виде:

(39)

В векторном виде последнюю систему можно записать:

, (40)

где ==.

(39) – в скалярной (координатной) форме и (40) – в векторном виде есть уравнения движения идеальной жидкости, записанные в форме Громека, из которых видно, что из конвективной производной выделены слагаемые, описывающие вихревое движение.

Дифференциальные уравнения в форме Эйлера или Громека в общем виде не интегрируются. Интегралы этих уравнений можно получить при выполнении следующих двух условий:

1) жидкость должна быть несжимаемой ( = const) или баро­тропной , то есть плотность должна зависеть только от давления;

2) массовые силы должны иметь потенциал, то есть .

Если из всех массовых сил действует только сила тяжести, . В этом случае имеет смысл потенциальной энергии поля силы тяжести (потенциальная энергия положения единицы массы); – высота частицы жидкости, отсчитываемая от некоторой условной горизонтальной плоскости; – абсолютная величина ускорения силы тяжести.

.

Из этих предположений получают важные для теоретических и практических исследований интегралы движений.

Бернулли (1700–1782) – для стацио­нарного вихревого движения идеальной жидкости

, (41)

где , – константа интегрирования, сохраняемая вдоль данной линии тока.

В частных случаях, если жидкость несжимаемая, то интеграл Бернулли будет иметь вид:

;

если жидкость баротропная, то (40) примет вид:

.

Заметим, что в поле силы тяжести .

Все слагаемые в уравнении Бернулли имеют определенную энергетическую и геометрическую интерпретацию. Студентам предлагается это рассмотреть подробно в контрольной работе.

Интеграл Лагранжа (иногда называют интегралом Ко­ши) – для неста­ционарного безвихревого движения:

.

При установившемся движении несжимаемой жидкости, когда , имеем интеграл Лагранжа – Бернулли:

,

при этом константа С будет иметь постоянное значение для всей массы жидкости.

В теории подобия следует об­ратить особое внимание на числа Рейнольдса и Фруда.

Для описания турбулентных движений проводится усреднение уравнений движения по Рейнольдсу (1842–1912). Студенты должны иметь четкое представление о ламинарном и турбулентном течениях; уметь различать мгновенные, усредненные величины и пульсационные составляющие, например,

и т. д.,

где и т. д. (пульсационные значения много меньше средних); твердо владеть операцией усреднения; знать соотношения Прандтля (1875–1953).

Если мы усредним по Рейнольдсу уравнения движения в форме Эйлера (30) при предположении, что , то будем иметь:

(42)

Или в векторном виде:

, (43)

где – коэффициенты турбулентной диффузии (обмена), включающие в себя и молекулярную диффузию, в качестве малой составляющей по соответствующим осям координат. В принципе в уравнениях (42) и (43) все величины ( – это средние величины. Чтобы не загромождать запись знак среднего опускают, имея в виду, что если появились коэффициенты турбулентности, то речь идет именно об усредненных величинах.

При рассмотрении волновых движений надо обратить внимание на математическую постановку вопроса. Имеются две сущест­венные особенности волнового движения. Первая – конвективная составляющая ускорения считается настолько малой по сравнению с локальной составляющей, что ею пренебрегают. Вторая – поле скоростей при волновом движении потенциально. Особо надо сделать акцент на граничных условиях на свободной поверхности. Отметим наиболее существенные вопросы: волновое движение, составление диффе­ренциальных уравнений и граничных условий, стоячие волны, прогрессивные волны, скорость распространения волн.

Уравнения гидростатики – частный случай уравнений движе­ния (жидкость находится в статическом равновесии). В этом случае касательные напряжения поверхностных сил в вязкой жидкости отсутствуют, а поверхностные силы сводятся к давлениям. Различие между идеальной и вязкой жидкостью проявляется только при движении. Уравнения равновесия и для идеальной и для вязкой жидкости имеют один и тот же вид.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1. Скорость жидкого потока . Определить:

а) вектор ускорения этого потока;

б) уравнения линий тока и траектории, проходящих через точку А (2, 4, 8);

в) является ли жидкость несжимаемой;

г) является ли поток потенциальным.

Решение

а) Компоненты вектора скорости на соответствующие оси:

.

Ускорение потока , где компоненты ус­корения определяются по формулам (6), в которых , так как движение установившееся. Для выполнения (6) дифференцируем последовательно по :