Механика жидкости и газа (стр. 5 )

Дивергенция векторного поля в точке рассчитывается по формуле:

.

Если векторное поле скоростное, то есть , то , и

. (14)

Уравнение неразрывности (сплошности). Очевидно, что поток скорости выражает объем жидкости, протекающий за единицу времени через поверхность S, которая считается неподвижной. При замкнутой поверхности вытекающий из нее объем считается положительным (по направлению совпадает с ориентацией внешней нормали), а втекающий – отрицательным (направление противоположно ориентации внешней нормали). Рассматривая в прост­ранстве протекание жидкости через замкнутую поверхность, можно заключить, что если за некоторый промежуток времени количество вытекающей жидкости не будет равно количеству втекающей, то внут­ри объем этой жидкости произойдет изменение плотности. Аналити­чески этот факт описывается уравнением неразрывности:

, (15)

которое является выражением закона сохранения масс (материи), ус­тановленным впервые в 1748 г. Уравнение неразрывности (15) записано в форме Эйлера.

Разновидности записи уравнения неразрывности возникают в результате преобразования (15). Так, например, если в (15) расписать дивергенцию

,

а затем выполнить операцию дифференцирования произведения двух функций, получим:

. (16)

Сумма первого, третьего, пятого и седьмого слагаемых в (16) – индивидуальная производная от . Из оставшихся слагаемых в (16) вынесем , а в скобках получим дивергенцию скорости. Поэтому уравнение (16) примет вид:

. (17)

Если уравнение (16) преобразовать иначе: первое слагаемое оставить без изменения; из второго, четвертого и шестого слагаемых, как и прежде, вынести и получить дивергенцию скорости; оставшиеся слагаемые преобразовать в скалярное произведение двух векторов (скорости и градиента плотности), то получим еще один вид записи уравнения неразрывности

. (18)

Частные случаи уравнения неразрывности:

а) для стационарного движения жидкости, т. е. при , из (15) и (16) соответственно имеем:

,

;

б) для несжимаемой жидкости ( = const, потому ) из (17) имеем:

или ; (19)

Наиболее простым по сравнению с приведенными уравнениями неразрывности является так называемое гидравлическое уравнение неразрывности, справедливое для стационарного движения несжимаемой жидкости, при котором элементарные струйки жидкости обладают следующими свойствами:

(20)

– постоянство потока через трубу переменного сечения S, т. е. каковы бы ни были сечения трубки, всегда выполняется условие: V1S1 = V2S2 = const (рис. 8). Здесь V1 и V2 модули вектора скорости потока соответственно через сечения S1 и S2.

Рис. 8. Трубка переменного сечения

Иначе гидравлическое уравнение неразрывности можно записать: – скорости потока обратно пропорциональны сечениям.

Состояние движения жидкости будем называть вихревым, если существуют области, в точках которых вихрь скорости () отли­чен от 0. Считая, что точки, в которых , сплошным образом заполняют некоторое пространство, мы приходим к понятию нового векторного поля – поля вихрей.

Подобно тому, как линии тока дают представление о поле ско­ростей, вихревые линии дают представление о поле вихрей в жидкос­ти. Вихревая линия – линия, проведенная в жидкости в данный мо­мент времени так, что вихри всех частиц, находящихся на этой ли­нии, направлены по касательной к ней в соответствующих точках. Дифференциальные уравнения вихревых линий:

,

где ; ; –

проекции вихря скорости на соответствующие оси прямоугольной декартовой системы координат. Обозначая ,

, можем дифференциальные уравнения вихревых линий записать в виде:

. (21)

Если в каждой точке рассматриваемого поля жидкости , т. е.

,,, (22)

то такое поле называется безвихревым.

Для безвихревого поля скорость потока

(23)

где функция называется потенциалом скорости.

Безвихревое поле называется потенциальным. Для потенциально­го поля

, , , (24)

так как из (23), с одной стороны, ,

с другой стороны, .

Чтобы записать для безвихревого поля несжимаемой жидкости уравнение нераз­рывности, подставим (23) в уравнение неразрывности (19), получим:

,

или ; или , что равносильно

. (25)

Уравнение (25) есть уравнение неразрывности для безвихревого движения несжимаемой жидкости. Его называют обычно уравнением Лапласа, которое позволяет вместо трех неизвестных компонентов скорости находить только одну функцию . По найденной функции находят из (24) компоненты скорости жидкости.

Плоско-параллельное движение несжимаемой жидкости. Определе­ние плоско-параллельного движения жидкости остается таким же, как и в теоретической механике для абсолютно твердого тела: движение жидкости называется плоским, если все ее частицы, находящиеся на одном и том же перпендикуляре к некоторой неподвижной плоскости, описывают тождественные и параллельные этой плоскости траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.

Дифференциальное уравнение ли­нии тока имеет вид: , или после интегрирования – = const. При различных значениях константы получаем и различные линии тока. Поэтому функцию называют функцией тока. Компоненты скорости движения жидкой среды через функцию тока выражаются следующим образом:

, . (26)

Для безвихревого движения несжимаемой жидкости: