Механика жидкости и газа (стр. 9 )

3. Записать интеграл Бернулли. Дать его энергетическую и геометрическую интерпретацию.

Задание 7. Описать и изобразить графически схему возникновения бризов днем и ночью.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

, где, как известно, ;

– называют дифференциалом функции .

Действия вычисления производных и дифференциалов функций называется дифференцированием функций.

Геометрический смысл производной ­– тангенс угла наклона касательной, проведенной в данной точке графика функции, к положительному направлению оси абсцисс.

Физический смысл производной – скорость изменения функции.

Правила дифференцирования

1. , где – константа. Производная от константы равна нулю.

2. .

3. . Производная от алгебраической суммы равна той же сумме производных от каждого слагаемого.

4. ; . Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

5. . Производная дроби равна дроби, в числителе которой – разность произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя, а в знаменателе – квадрат знаменателя.

6. Если , а , т. е. есть сложная функция, то

7. . Производная произведения равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй без изменения и первого сомножителя на производную от второго сомножителя.

8. – производная произведения нескольких сомножителей.

Примечание. При дифференцировании произведения многих переменных удобнее воспользоваться логарифмическим дифференцированием, а именно, представить

, а затем дифференцировать:

Таблица производных основных элементарных функций

Простые функции	Сложные функции
, – любое действительное число

Вычисление производных от производных функций называется повторным дифференцированием: получаем производные второго, третьего и т. д. порядков.

Частные производные, частные дифференциалы, полный дифференциал

Рассматриваются для функций более одной независимой переменной. Например, функция . Точка с координатами может смещаться не только на любое расстояние, но и в любом направлении. Скорость изменения функции будет различной при смещении этой точки в различных направлениях. Частные производные по переменным имеют вид:

,

,

.

Аналогичные записи для функций трех, четырех и т. д. независимых переменных.

Частный дифференциал: , .

Полный дифференциал: .

Для отыскания частных производных остаются справедливыми формулы и правила дифференцирования функции одной переменной.

Если в функции переменная , т. е. , то есть сложная функция и ее частные производные имеют вид:

, .

Теорема о среднем (теорема Лагранжа):

Если функция дифференцируема в замкнутом промежутке , то отношение равно производной, вычисленной в некоторой внутренней точке промежутка

.

Неопределенный интеграл

Задача нахождения первоначального вида функции (первообразной) по известной ее производной называется интегрированием. Так как при дифференцировании любой постоянной мы получаем нуль, то восстановить первообразную мы можем только с точностью до произвольного слагаемого (С). Под буквой С подразумевается любое (как положительное, так и отрицательное постоянное число). Итак, совокупность всех первообразных функций, имеющих одну и ту же производную (дифференциал), называют неопределенным интегралом:

,

где – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение.

Неопределенный интеграл геометрически представляет бесконечное множество (семейство) кривых, отличающихся друг от друга на константу. Чтобы выделить из этого семейства вполне определенную кривую, надо задать какое-нибудь дополнительное условие, которое позволит определить константу С.

Таблица основных формул интегрирования