Механика жидкости и газа (стр. 6 )

, , (27)

откуда видим связь между потенциалом и функцией тока.

ДИНАМИКА

Различают два класса сил, приложенных к частицам выделенного объема жидкости: массовые и поверхностные.

Массовые силы приложены ко всем точкам сплошной среды, независимо от того, лежат ли эти точки на поверхности, ограничивающей сплошную среду, или находятся внутри объема, ограниченной этой поверхностью. Величина массовой силы, действующей на какую-либо частицу, пропорциональна ее массе и обычно рассчитывается на единицу массы: (вспомните второй закон Ньютона). К массовым силам относятся сила тяжести (равнодействующая двух сил: гравитационная сила притяжения Земли и центробежная сила), сила Кориолиса (отклоняющая сила за счет вращения Земли вокруг своей оси), силы инерции, электромагнитные и другие силы. В механике жидкости и газа рассматривают обычно только первые две названные силы.

Поверхностные силы представляют собой результат взаимодействия соседних слоев и частиц жидкости друг с другом и приложены к любой поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем жидкости. Величина поверхностной силы, действующей на какую-либо поверхность, пропорциональна ее площади, поэтому поверхностную силу рассматривают на единицу площади. К поверхностным силам относится, например, сила трения.

В динамике жидкости рассматривают вязкую и как частный ее случай – идеальную жидкости. Все реальные жидкости являются вязкими, т. е. обладают свойством внутреннего трения. Идеальной жидкостью называется жидкость, коэффициент вязкости которой настолько мал, что его можно считать равным нулю. Иначе говоря, в идеальной жидкости пренебрегают вязкостью, или внутренним трением, жидкие частицы могут беспрепятственно скользить относительно друг друга, и поверхностные силы действуют перпендикулярно к поверхностям, ограничивающим жидкие частицы, проявляясь только в форме сил давления (нормальные напряжения).

Уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера имеют вид:

(28)

или, расписывая индивидуальную производную в левой части векторного уравнения (28), имеем:

. (29)

Здесь – давление.

Проектируя векторные величины в (28), или что то же в (29), на координатные оси декартовой прямоугольной системы координат, получим скалярные (или в координатной форме) записи (28) и (29):

(30)

Или

(31)

Конкретизируя в (30), или что то же (31), силу через силу тяжести, приходящейся на единицу массы ( – ускорение силы тяжести), и силу Кориолиса (, как векторное произведение угловой скорости вращения Земли на скорость движения жидкости), можем уравнения в форме Эйлера записать в следующем виде:

+.

В координатной (скалярной) форме уравнения (29) примут следующий вид записи:

(32)

Если мы проведем ориентацию декартовой системы координат таким образом, чтобы начало координат оказалось на поверхности Земли, направление оси совпало с направлением местной вертикали, ось была направлена по параллели на восток, ось – по меридиану на север, то

,

, ,

где и – соответственно проекции угловой скорости и ускорения силы тяжести на соответствующие оси декартовой системы координат, – абсолютная величина угловой скорости, – широта местности. Знак минус в обусловлен разнонаправленностью оси с направлением ускорения силы тяжести (заметим, что при изучении водных объектов обычно для удобства положительного отсчета глубин ось направляют от поверхности водоема ко дну, и в этом случае ее направление совпадает с направлением ускорения силы тяжести, а потому ).

Введем обозначения:

, где – параметры Кориолиса, тогда уравнения (32) примут вид:

Уравнения движения в форме Эйлера (см., например, (30)) даже при известных действующих силах содержат неизвестные , т. е. три уравнения движения содержат пять неизвестных. Такие системы уравнений называются незамкнутыми. Для решения системы уравнений (30) прежде всего необходимо ее замкнуть, т. е. количество уравнений уравнять с количеством неизвестных. Обычно поступают следующим образом. К системе уравнений (30) присоединяют в качестве четвертого уравнения уравнение неразрывности (15). При этом количество неизвестных не увеличивается. Если рассматривать несжимаемую жидкость, когда , или баротропную, когда плотность – функция только давления , то полученная система четырех уравнений будет содержать только четыре неизвестных, а потому будет замкнутой.

Если жидкость бароклинная, т. е. плотность может зависеть не только от давления, то записывают пятое уравнение, в качестве которого берут уравнение состояния, например, в форме уравнения Клапейрона , где – универсальная газовая постоянная. Уравнение Клапейрона вводит новую (шестую) переменную – температуру (в градусах Кельвина), а потому не приводит к замыканию системы (30). Чтобы провести дальнейшее замыкание, необходимо записать уравнение для температуры (уравнение теплопроводности). Если при этом мы не введем новые неизвестные, то система будет замкнута. Если в новом уравнении появится новая переменная, например влажность воздуха, то придется записывать уравнение для влажности. И так поступают до тех пор, пока количество уравнений не станет равным количеству неизвестных (получим замкнутую систему уравнений).

В полученной замкнутой системе уравнений содержатся частные производные. При интегрировании такой системы появятся произвольные постоянные, для нахождения которых необходимо задание начальных (по времени) и граничных (по пространству) условий.

В вязкой жидкости, кроме нормальных, действуют еще и касательные напряжения. Движение вязкой жидкости описывается уравнениями Навье (1765–1903).

(33)

или в координатной форме:

(34)

В (34) – нормальные напряжения (для идеальной жидкости ; знак минус обусловлен разнонаправленностью внешней нормали, ориентирующей площадку элементарной поверхности, и давления, оказываемого внешней средой на жидкую частицу);

– касательные напряжения, которые в случае идеальной жидкости, как мы уже говорили, равны нулю. Уравнения движения вязкой жидкости (33), или что то же (34), называют уравнениями движения в напряжениях или уравнениями Навье.

Можно дать следующее определение: жидкость называется вязкой, если поверхностные силы, приложенные к элементам поверхности любого объема жидкости, имеют, кроме нормальных, еще и касательные напряжения.

Система уравнений (34) в форме Навье, по сравнению с системой Эйлера для идеальной жидкости (30), уже содержит десять неизвестных переменных, зависящих от времени и пространственных координат : . Замыкание такой системы приводит к значительным сложностям. Для того чтобы упростить задачу замыкания, Стокс (1819–1903) предложил три гипотезы, используя которые он смог записать уравнения движения жидкости в следующем виде.