Механика жидкости и газа (стр. 4 )

Рис. 2. Источник (а), сток (б)

Совокупность линий тока образуют поверхность тока, а часть жидкости, выделенная из нее поверхностью тока, проведенной через замкнутый контур, называется трубкой тока (рис. 3) с сечением .

Часть жидкости, ограниченная траекториями точек замкнутого контура, называется струей.

Рис. 3. Трубка тока с сечением S

Для стационарного движения линии тока совпадают с траекториями, а следовательно и трубки тока совпадают со струей. В нестационарных течениях траектории отличаются от линий тока, трубки тока – от струи.

Поток векторного поля через поверхность. Предположим, что в некоторой части пространства задано течение несжимаемой жидкости с постоянной скоростью . Перпендикулярно скорости движения поставлена проницаемая пластинка площадью (рис. 4). Объем жидкости , протекающий через данную пластинку за единицу времени, очевидно, будет

P = VS, (11)

так как все частицы жидкости, находящиеся в начальный момент перед пластинкой на расстоянии не более чем , за единицу времени пройдут через пластинку (вспомните, расстояние равно произведению скорости на время). Величину этого объема называют потоком постоянного вектора через площадку .

Пусть теперь пластинка поставлена к потоку под некоторым углом (рис. 5), где угол – угол между вектором скорости и перпендикуляром к площадке , направленным в сторону общего потока жидкости.

В этом случае через пластинку пройдут за единицу времени те частицы, которые отстояли от этой пластинки на расстоянии не более , т. е.

. (12)

Рис. 4. Поток вектора скорости Рис. 5. Поток вектора скорости

к перпендикулярной площадке S под углом α к площадке S

Очевидно, что (11) – частный случай (12), так как при , ().

Равенство (12) можно записать в векторном виде:

,

где – проекция вектора на направление единичного вектора .

Теперь можно определить поток произвольного вектора через поверхность (замкнутую или незамкнутую) (рис. 6). В каждой точке поверхности построим единичный вектор нормали и условимся для замкнутой поверхности считать за положительное направление нормали – направление внешней нормали. Если поверхность незамкнута, то направление нормали произвольно (оговаривая какое из направлений мы выбираем), при этом векторы во всех точках поверхности должны лежать по одну ее сторону.

Разобьем поверхность (см. рис. 6) на большое число элементарных площадок, в каждой из которых выберем произвольно точку и построим в ней . Составим интегральную сумму

,

где – число элементарных площадок разбиения, – угол между и .

Рис. 6. Поток произвольного вектора через поверхность

Потоком Р поля вектора через поверхность называется предел интегральной суммы при стягивании каждой элементарной площадки в точку

. (13)

Физический смысл потока векторного поля в случае гидродинамической интерпретации при

представляет поток вектора скорости через поверхность, т. е. объем жидкости , протекающий за единицу времени через эту поверхность:

.

Если поверхность замкнута, то ориентируя поверхность по внешней нормали (рис. 7), будем иметь:

а) , если жидкость вытекает, так как ,

б) , если жидкость втекает, так как .

В целом . Причем, если , то говорят, что жидкости вытекает больше, чем втекает, т. е. внутри замкнутого объема имеются источники (например, тает лед). Если , то жидкости втекает больше, чем вытекает, т. е. внутри замкнутого объема имеются стоки (например, жидкость испаряется). Если , то в жидкости либо нет источников и стоков, либо они компенсируют друг друга. Надо отметить, что и в первых двух случаях в замкнутом объеме могут быть и источники, и стоки, но в первом случае источники превалируют над стоками, а во втором – стоки превалируют над источниками.

Рис. 7. Втекание и вытекание жидкости через замкнутую поверхность

Дивергенция (расходимость) векторного поля характеризует от­сутствие или наличие в точке поля источника или стока:

,

где – поток произвольного векторного поля через замкнутую поверхность S (элементарная замкнутая поверхность , где – ориентация площадки внешней нормалью), ограничивающей объем . Если > 0, то в рассматриваемой точке имеется источник; если < 0, то – сток; если = 0, то в данной точке нет ни источника, ни стока.