, 
, 
;
, 
, 
;
, 
, 
.
Подставляя в (6) найденные выражения, получим:
, 
, 
.
Откуда 
.
б) Найдем линию тока, используя формулу (10):
,
из которой мы можем записать два дифференциальных уравнения:
, 
.
Имеем дифференциальные уравнения с разделенными переменными, интегрируя которые, получаем:
, 
.
Из условия задачи линия тока проходит через точку А (2,4,8). Это нам позволяет найти произвольные постоянные 
(т. е. из общих решений выделить частные).
, 
,
откуда 
= –1/4, = –1/8.
Тогда линия тока, проходящая через точку А, принимает вид:
Линия тока есть линия пересечение двух плоскостей.
Так как движение установившееся, то траектория совпадает с линией тока.
в) Движение несжимаемой жидкости возможно только в том случае, если выполняется уравнение (19). Для нашего примера
.
Следовательно, жидкость сжимаема во всех точках (кроме 
).
г) Чтобы поток был потенциален, необходимо и достаточно, чтобы он был безвихревым, т. е. все проекции ротора вектора скорости на координатные оси должны быть равны нулю. Проверим выполнение условий (22).
;
; 
.
Следовательно, поток потенциален.
Задача 2. Движение жидкости описывается потенциалом скоростей
.
Найти: а) вектор скорости и его модуль; б) функцию тока.
Решение.
а) Движение плоско-параллельное и безвихревое.
Согласно (24):
; 
.
; 
(за исключением точки (0,0)).
б) Согласно (26) и (27)
, 
.
Для определения произвольной константы продифференцируем последнее выражение по x:
.
Согласно (27)
, то есть 
.
Или
; 
; 
.
Таким образом, для данного потока жидкости функция тока имеет вид:
.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
для студентов III курса з/о специальностей
«Гидрология» и «Природопользование»
Задание 1. Определить семейство линий тока, а также линию тока, проходящую через точку А(1,1) в момент времени
t = 0. Определить траекторию частицы, которая в момент времени t = 0 находилась в точке А. Задано поле скоростей: u = 2x; v = 3t; 
= 0.
Задание 2. Компоненты поля скорости имеют вид:
, 
, 
.
1. Определить, будет ли:
а) жидкость несжимаема;
б) поток потенциален.
2. Найти составляющие вектора ускорений.
3. Записать вектор ускорения и его модуль.
Задание 3. Составить уравнения вихревых линий, если скорость потока жидкости
, 
, 
.
Задание 4. Найти функцию тока, если потенциал скоростей
.
Изобразить на графике линии тока и линии равного потенциала.
Задание 5.
Показать, что если река имеет закругление (см. схему), то у берега А уровень ниже, чем у берега В. Считать движение установившимся и безвихревым, зная, что в точке A скорость течения больше, чем в точке В.
Примечание. Использовать интеграл Д. Бернулли.
Задание 6.
1. Записать и доказать свойства осреднения.
2. Записать усредненные по Рейнольдсу уравнения движения в форме Навье (в векторном и скалярном видах).
3. Записать интеграл Бернулли. Дать его энергетическую и геометрическую интерпретацию.
Задание 7.
Определить режим течения воды в трубе диаметром d = 0,05 м, если расход воды Q = 5 л/с и кинематический коэффициент вязкости n = 0,0131 cм2/с (при температуре воды 10 oC).
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО КУРСУ
для студентов III курса з/о специальности «Метеорология»
Задание 1. Определить семейство линий тока, а также линию тока, проходящую через точку А (1,1) в момент времени
t = 0. Определить траекторию частицы, которая в момент времени t = 0 находилась в точке A. Задано поле скоростей: u = xt; v = yt; 
= 0.
Задание 2. Компоненты поля скорости имеют вид:
, , 
.
1. Определить, будет ли: а) жидкость несжимаема; б) поток потенциален.
2. Найти составляющие вектора ускорений.
3. Записать вектор ускорения и его модуль.
Задание 3. Составить уравнения вихревых линий, если скорость потока жидкости
, 
, 
.
Задание 4. Найти функцию тока, если потенциал скоростей
.
Изобразить на графике линии тока и линии равного потенциала.
Задание 5. Определить, как изменится давление в зависимости от скорости течения несжимаемой жидкости в горизонтальной трубе переменного сечения, если движение установившееся и из массовых сил действует только сила тяжести.
Примечание. Использовать интеграл Д. Бернулли.
Задание 6.
1. Записать и доказать свойства осреднения
2. Записать усредненные по Рейнольдсу уравнения движения в форме Навье (в векторном и скалярном видах).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
