Урок 3. Геометрические пропорции (стр. 4 )

Вопрос. При каком соотношении между величинами , и задача имеет смысл?

Пусть треугольники и имеют общий угол при вершине (рисунок 10). Напомним, что площади таких треугольников связаны соотношением

Отсюда следует, что, используя отношения отрезков площадь одного из треугольников можно выразить через площадь другого.

Пример 8. В параллелограмме точка — середина стороны . Известно, что биссектриса угла параллелограмма делит треугольник на две части равной площади. Необходимо найти длину стороны , если .

Решение. Сделаем чертеж (рисунок 11). По условию . С другой стороны,

Поэтому условие задачи выполняется тогда, когда .

Положим . Так как , то треугольник равнобедренный и . Значит, и .

Для вычисления отношения проведем (рисунок 12). Тогда , и из подобия треугольников и следует, что

.

Отсюда

Составим теперь уравнение

вследствие которого

При точка лежит на отрезке , и в этом случае биссектриса делит треугольник на две части.

Корень соответствует тому, что точка лежит вне отрезка . Следовательно, корень посторонний.

Ответ: .

Вопрос. Какой геометрический смысл можно придать корню , который получился при решении квадратного уравнения?

3.4. Применение свойства биссектрисы треугольника

Иногда при решении задач оказывается полезным свойство биссектрисы угла треугольника.

Биссектриса треугольника , проведенная из вершины , делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам треугольника.

Пример 9. В равнобедренном треугольнике с основанием длина биссектрисы равна 12. Найдем угол при основании треугольника, если известно, что и что прямая, параллельная и делящая площадь треугольника пополам, пересекает треугольник по отрезку длиной .

Решение. В случае биссектриса делит треугольник на части так, что площадь треугольника меньше площади треугольника . С учетом этого замечания сделаем чертеж, на котором и (рисунок 13). Положим , , .

По свойству биссектрисы имеем

или ,

откуда

Поэтому

Так как

причем стороне соответствует сторона , то

или

Отсюда , .

Для вычисления угла проведем высоту (рисунок 14). Тогда , .

Ответ: .

Вопрос. Чему равны стороны треугольника ?

Проверь себя. Геометрические пропорции

Задание 1. Укажите правильный вариант ответа

В трапеции с основаниями 15 см и 6 см средняя линия пересекает диагонали в точках и . Чему равна длина отрезка ?

1. 3 см

2. 4 см