Методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» (стр. 2 )

Перед решением каждой задачи предлагаем ознакомиться с основными вопросами теории. Перечисленные ниже вопросы по каждой теме являются основными при защите контрольных работ.

При выполнении контрольных работ, давая детальные решения задач, не следует вдаваться в подробные словесные объяснения.

Краткие теоретические сведения и примеры решения типовых задач

Опыт в теории вероятностей – это любое наблюдение, измерение, эксперимент и т. п., результаты которого заранее неизвестны. Событие – результат опыта.

Некоторые опыты распадаются на схему случаев или схему шансов. Это означает, что результаты опыта образуют множество событий , обладающих следующими свойствами:

1.В результате опыта обязательно происходит одно из событий множества ;

2. – несовместные события, т. е. два или несколько различных событий в результате одного опыта произойти не могут;

3. – независимые события, это означает, что если в результате опыта произошло событие , то шансы на появление любого из этих событий при повторном опыте это не меняются;

4. – равновозможные события, т. е. все события имеют одинаковые шансы на появление в результате опыта.

Множество событий, обладающих свойствами 1-4, называют множеством элементарных исходов опыта.

Любое подмножество множества , (), представляет собой событие , связанное с данным опытом. Пусть – число элементарных исходов опыта или число элементов множества , – число элементов подмножества или число исходов, благоприятствующих событию .

Вероятностью события называют отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих событию , к общему числу элементарных исходов:

(1)

Формулу (1) называют формулой классической вероятности. Она применима лишь для опытов, которые распадаются на схему шансов. Вычисление по этой формуле вероятности события называют непосредственным подсчетом вероятности.

Множество всех подмножеств множества называют булеаном множества и обозначают 2Е или P(). Булеан включает в себя, наряду с другими подмножествами, пустое подмножество и все множество . Событие, соответствующее пустому множеству, называют невозможным событием, всему множеству - достоверным событием.

Поскольку , а , имеем:

, а (2)

Число элементов любого другого подмножества в булеане больше 0 и меньше . Следовательно, . Таким образом, вероятность любого события, включая невозможное и достоверное, удовлетворяет неравенству:

(3)

Для вычисления числа всех элементарных исходов и числа исходов, благоприятствующих событию : , используются правила и формулы комбинаторики.

Правило сложения. Число элементов объединения множеств и равно сумме чисел элементов каждого множества, минус число элементов в их пересечении.

(4)

Правило умножения.

Пусть – последовательность элементов какого-либо множества.

Если существует способов выбрать элемент и после этого выбора остается способов выбрать элемент , то существует способов выбрать пару .

Если существует способов выбрать пару и после этого выбора остается способов выбрать элемент , то существует способов выбрать тройку и т. д.

Окончательно имеем: существует способов выбрать последовательность .

Чаще всего элементарные исходы опыта представляют собой выборки или расстановки одного из трех видов: размещения, сочетания или перестановки. Определить вид расстановок, а также найти число расстановок определенного вида можно, используя схему определения вида расстановок (см. Рис.1 и табл.1).

Формула классической вероятности имеет достаточно узкий спектр применения: ею можно пользоваться лишь в тех случаях, когда опыт распадается на схему шансов. Более общей является формула статистической вероятности: . Здесь – столько раз был повторен опыт, – столько раз в опытах появилось событие .

Таблица 1 Треугольник Паскаля ,
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1