Методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» (стр. 3 )

Сложение и умножение событий. Основные теоремы теории вероятностей. Противоположное событие

Суммой событий и называют событие , состоящее в том, что произошло событие или событие :

+=, = ИЛИ.

Сумме событий и соответствует объединение подмножеств и , где и – подмножества элементарных исходов опыта, благоприятствующих событиям и соответственно: .

Произведением событий и называют событие , состоящее в том, что произошло событие и событие :

·=, = И .

Произведению событий и соответствует пересечение подмножеств и : .

Используя равенства , и комбинаторные правила сложения и умножения, получаем основные теоремы теории вероятностей.

Теорема сложения. Вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

(5)

Теорема умножения. Вероятность произведения событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого события:

(6)

В формуле (6) символы и обозначают условные вероятности событий и соответственно, так – это вероятность события при условии, что событие произошло, – вероятность события при условии, что произошло событие .

Если события и несовместны, т. е. одновременно произойти не могут, то их произведение есть невозможное событие и вероятность . Для этого случая терема сложения имеет вид:

, (7)

Равенство (7) называют Теоремой сложения для несовместных событий.

Если события и независимы, т. е. появление одного из них не изменяет числа шансов появления второго, то и . Для этого случая терема умножения имеет вид:

, (8)

Равенство (8) называют Теоремой умножения для независимых событий.

Событие , состоящее в том, что событие не произошло, называют противоположным событию . Очевидно, что события и несовместны, независимы, а их сумма есть достоверное событие. Следовательно, справедливы равенства:

(9)

Формула полной вероятности и формула Байеса

Формула полной вероятности имеет вид:

(10)

Формула позволяет решать задачи следующего содержания.

Требуется найти вероятность события , которое происходит вместе с одним из событий . События называются гипотезами и обладают следующими свойствами:

1.В результате опыта обязательно происходит одно из событий ;

2. – несовместные события;

3. – независимые события.

Множество событий, обладающих свойствами 1-3, называют полной группой событий.

Задача, обратная задаче о полной вероятности, решается по формуле Байеса:

(11)

По этой формуле находят вероятность того, что событие , произошедшее в результате опыта, сопровождалось реализацией гипотезы .