Составим сумму:

.

Очевидно, что есть среднее значение величины . В общем случае, когда есть классическая или статистическая вероятность события , сумму

, (15)

называют математическим ожиданием случайной величины .

Математическое ожидание есть одна из основных точечных характеристик случайной величины . Две другие – это дисперсия и среднее квадратическое отклонение, обе эти характеристики являются мерой разброса значений около математического ожидания.

Дисперсия определяется как математическое ожидание квадрата отклонения величины от :

(16)

Упростив формулу (16), получаем вычислительную формулу дисперсии:

. (17)

Квадратный корень из дисперсии называют средним квадратическим отклонением:

.(18)

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по биномиальному закону, определяются равенствами:

,

(19)

,

(20)

,

(21)

которые легко доказать методом математической индукции.

Нормальное распределение случайной величины. Связь биномиального закона с законом нормального распределения

Если значения случайной величины заполняют сплошь какой-либо промежуток числовой оси или всю числовую ось, то ее называют непрерывной случайной величиной (НСВ).

Пусть – непрерывная случайная величина; ее возможные значения – все числа отрезка , т. е. событие , есть достоверное событие и . Единица вероятности распределяется между всеми значениями НСВ, т. е. всеми числами отрезка . Поскольку чисел на любом отрезке числовой оси бесконечно много, то вероятность бесконечно мала. Иными словами, практически невозможное событие: . Однако, вероятность попадания значения случайной величины в любой конечный интервал отрезка от нуля отлична: .

Закон распределения вероятностей НСВ – это правило, формула, график и т. п., которые позволяют найти вероятность попадания НСВ в любой промежуток числовой оси.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Наиболее часто для задания закона распределения НСВ используют две формы: функцию распределения и плотность распределения.

Функция распределения случайной величины (как непрерывной, так и дискретной) есть вероятность события: .

. (22)

Если известна , то вероятность попадания случайной величины в промежуток от до вычисляют по формуле:

. (23)

Производную функции распределения называют плотностью распределения:

. (24)

Если известна , то функцию распределения вычисляют по формуле:

. (25)

Вероятность попадания случайной величины в промежуток от до определяется равенствами:

. (26)

Математическое ожидание случайной величины :

. (27)

Дисперсия случайной величины :

. (28)

Среднее квадратическое отклонение случайной величины :

. (29)

Большинство случайных величин, наблюдаемых в опытах, распределены по нормальному закону. Функция нормального распределения и его плотность имеют вид:

,

(30)

,

(31)

где и математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины.

Таблица 2

Свойства нормального распределения

 

№п. п.

Функция распределения

Плотность распределения

1

2

3

1

2

1

2

3

3

4

,

– неубывающая функция на всей числовой оси.

5

––

, , ,

имеет единственную точку максимума .

6

––

,

, ,

имеет две точки перегиба .

7

––

Функции и обладают свойствами, записанными в табл 2.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11