Методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» (стр. 6 )

Поскольку вычисления по формулам (30) и (31) довольно сложны, значения функций и находят по таблицам. Таблицы этих функций составлены для =0 и =1:

,	(30)
,	(31)

Функцию называют функцией Лапласа, функцию - плотностью нормального распределения.

Если в формуле (30) сделать замену , , тогда . Отсюда получаем:

.

Чтобы пользоваться таблицей функции Лапласа, требуются следующие формулы:

(1) ,

(2) ,

(3) .

(4) , .

Примечание 1. В равенстве (3) использована нечетность функции Лапласа: .

Примечание 2. Равенство (4) называют Правилом трех сигм: Если – нормально распределенная случайная величина, то вероятность отклонения ее от математического ожидания более, чем на три сигмы, ничтожно мала (менее 0.3%).

Между законами нормального и биномиального распределения существует глубокая связь. Если – дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону, то для достаточно больших справедливы приближенные равенства:

,

,

Примечание. Напомним, что математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение биномиального распределения вычисляют по формулам: , .

Таким образом, при достаточно большом числе опытов , проведенных по схеме Бернулли, вероятности событий и , можно вычислять по формулам, используя таблицы значений функции Лапласа и плотности нормального распределения:

	(32)
	(33)

Примечание 3. Равенство (33) называют Теоремой Лапласа, а равенство (6.32) – Теоремой Муавра-Лапласа.

Задача 1. Из ящика, в котором содержится 5 белых и 7 красных шаров, вынимают наугад три шара без возвращения. Какова вероятность, что среди вынутых шаров будет 2 белых и один красный?

Решение

Опыт: вытаскивание трех шаров из ящика, содержащего 12 шаров. Множество элементарных исходов опыта - все расстановки из 12 элементов по 3 элемента. Отвечая на вопросы схемы на рис., приходим к выводу, что данные расстановки являются сочетаниями без повторений из 12 по 2, поскольку они отличаются друг от друга составом элементов (шаров), порядок расположения шаров в выборке не важен, элементы не повторяются.

Следовательно, число всех элементарных исходов опыта:

.

Событие : «среди трех вынутых шаров 2 белых и 1 красный».

Найдем – число элементарных исходов, благоприятствующих событию , т. е. число таких наборов по 3 шара, в которых два шара белые и один – красный.

В ящике 5 белых шаров, а в наборе их должно быть два. Можно составить таких выборок. К каждой из 10 выборок можно добавить один из 7 имеющихся красных шаров: .

Пользуясь комбинаторным правилом умножения, получаем:

наборов по 3 шара содержат 2 белых и 1 красный шар.

Итак, .

Задача 2. В первом ряду аудитории 6 парт. За эти парты всегда садятся 6 друзей-студентов. Какова вероятность того, что при случайной посадке за эти парты Саша и Марина окажутся рядом?

Решение

1 2 3 4 5 6 А Б С М К Д А Б К М Д С

Опыт: рассадить шесть студентов {А, Б,С, М,К, Д} по шести партам {1,2,3,4,5,6}. (Саша и Марина – это М и С). Два возможных элементарных исхода опыта показаны в таблице.

Множество элементарных исходов опыта – все расстановки из 6 элементов по 6 элементов. Отвечая на вопросы схемы на рис., приходим к выводу, что данные расстановки являются перестановками из 6 элементов без повторений, поскольку они не отличаются друг от друга составом элементов и элементы не повторяются.

.