Формула Бернулли. Случайная величина, распределенная по биномиальному закону
В элементарной математике рассматривается формула, называемая бином Ньютона:
|
, (12)где 
– число сочетаний из 
по 
.
Частными случаями бинома Ньютона являются часто используемые формулы квадрат и куб суммы (разности):
;
.
Пусть в результате некоторого опыта может появиться (или не появиться) случайное событие 
. Вероятность появления в опыте события равна 
, вероятность того, что не появится, равна 
. Очевидно, что 
, 
– вероятность достоверного события 
: «в результате опыта не появится ИЛИ появится событие ». Если повторить опыт раз, причем и в каждом опыте остаются неизменными, то вероятность того, что появится в каждом из этих опытов, есть также достоверное событие и 
. Опыты, в каждом из которых сохраняются вероятности и , называют опытами, проведенными по схеме Бернулли.
Применим формулу бинома Ньютона к равенству 
:
|
, (13)Из равенства (6.13) следует двойное неравенство:
.
Поэтому каждое слагаемое в формуле (13) есть вероятность определенного события, которое может произойти в результате опытов.
Формула Бернулли утверждает, что 
есть вероятность того, что в опытах событие появится раз:
|
, (14)Равенство 
есть распределение единицы вероятности по всем возможным частотам появления события в опытах.
Пусть величина 
– число появлений события в опытах. Построим таблицу, сопоставляющую каждому возможному значению величины , вероятность этого значения:
| 0 | 1 | 2 | … |
| |
|
|
|
| … |
|
|
Таблица, сопоставляющая каждому возможному значению величины , вероятность этого значения, называют рядом распределения случайной величины. Ряд распределения есть одна из возможных форм записи закона распределения вероятностей дискретной случайной величины 
.
Если случайная величина есть число появлений события в опытах, проведенных по схеме Бернулли, то ее закон распределения вероятностей носит название биномиального закона распределения.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Точечные характеристики дискретной случайной величины
Случайной величиной называют величину, значения которой до опыта не известны. Можно сказать по-другому: – случайная величина, если есть случайное событие, предсказать которое до проведения опыта нельзя.
Если значения случайной величины – отдельные числа, то ее называют дискретной случайной величиной (ДСВ).
До опыта знать значение невозможно, но можно знать вероятность каждого из допустимых значений ДСВ.
Закон распределения вероятностей ДСВ (или просто закон распределения) – это таблица, правило, формула, которые позволяют найти вероятность каждого из значений случайной величины.
Например, биномиальный закон удобно задавать с помощью формулы Бернулли, (см. формулу (14)).
Часто закон распределения ДСВ задают с помощью таблицы или ряда распределения, в котором первая строка – возможные значения , вторая – вероятности этих значений. Для нахождения вероятностей значений можно использовать статистическую вероятность. Для этого повторяют опыт раз и отмечают, сколько раз появилось то или иное значение случайной величины. Число 
появлений события 
в опытах называют частотой значения а отношение 
– относительной частотой этого значения. Относительную частоту значения при достаточно большом числе опытов можно рассматривать как статистическую вероятность события :
.
Таблица частот и относительных частот имеет вид:
Значение ДСВ , |
|
|
| … |
| |
Частота значения |
|
|
| … |
|
|
Относительная частота, статистическая вероятность |
|
|
| … |
|
|
, 
Поскольку 
, таблицу относительных частот можно рассматривать как ряд распределения вероятностей случайной величины .
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 |
