Методы вычислений и моделирование в экономике (стр. 4 )

- доходность -й ценной бумаги;

- доходность портфеля;

- стоимость, по которой купили -ю бумагу в момент времени ;

- стоимость -й ценной бумаги в момент времени ;

- капитал портфеля в момент времени .

В начальный момент времени капитал портфеля равен:

. (2.1)

В момент времени акции поменялись в цене:

, (2.2)

изменился и капитал портфеля:

. (2.3)

В момент капитал портфеля также равен:

. (2.4)

Подставим в формулу (2.4) вместо формулу (2.2):

.

Откроем скобки в последнем равенстве:

.

Сумма подчеркнутых слагаемых по формуле (2.1) есть . Поэтому

. (2.5)

По определению (и из формулы (2.3)) доходность портфеля равна:

. (2.6)

Перенесем в (2.5) из правой части в левую и разделим обе части уравнения на , из формулы (2.6) получим:

.

Разделим правую часть последнего равенства почленно на :

.

Обозначим - доля капитала портфеля, приходящаяся на -й актив.

Тогда доходность портфеля равна:

.

Но портфель состоит из рисковых ценных бумаг, следовательно, у портфеля есть ожидаемая доходность и риск.

Пусть - ожидаемая доходность портфеля.

, (2.7)

- риск портфеля:

, (2.8)

где - ковариация между и .

Ковариацией случайных величин и называется математическое ожидание произведений отклонений случайных величин от их математических ожиданий:

.

В частности, .

Ковариация – показатель связи между двумя случайными величинами. Если случайные величины независимы, то . Чем больше , тем сильнее связь. Если , то между случайными величинами существует прямая связь (при возрастании первой возрастает и вторая и наоборот); если - связь обратная (при возрастании одной вторая убывает и наоборот).

Задача по составлению оптимального портфеля заключается в том, что требуется найти минимум риска () при условии, что доходность портфеля больше некоторой величины . При этом должны выполняться «естественные» ограничения: , .

Ожидаемая доходность портфеля всегда больше либо равна наименьшей и меньше либо равна максимальной доходности бумаг, составляющих портфель.

Пример 2.2. Портфель ценных бумаг состоит из 50 облигаций, начальная стоимость которых 100 руб. за каждую и 30 облигаций с начальной стоимостью 50 руб. Ожидаемая доходность облигаций первого вида ; ожидаемая доходность облигаций второго вида ; риск облигаций первого вида ; риск облигаций второго вида ; ковариация . Найти ожидаемую доходность и риск портфеля.

Решение. Рассчитаем начальный капитал портфеля:

;

определим долю ценных бумаг каждого вида в капитале портфеля:

; .

Заметим, что . Вычислим ожидаемую доходность портфеля, используя формулу (2.7):

.

Из формулы (2.8) риск портфеля, состоящего из ценных бумаг двух видов, рассчитывается следующим образом:

,

.

Ответ: ожидаемая доходность портфеля равна 0,123 (12,3%); риск портфеля равен 0,009.

Таким образом, доходность портфеля из примера 2.2 выше, чем у облигаций первого типа, составляющих этот портфель, но ниже, чем у облигаций второго типа. А риск оказался меньше, чем у облигаций первого типа и меньше, чем у облигаций второго типа. Возникает вопрос: можно ли выбором долей улучшить показатели качества портфеля: ожидаемую доходность и риск? Рассмотрению этой задачи и посвящена следующая лабораторная работа.

2.1. Лабораторная работа № 2

Постановка задачи. Найти доли капитала портфеля , приходящиеся на -й актив, при которых достигается минимум риска портфеля и выполняются ограничения:

;

;

.

Исходные данные. Вектор ожидаемых доходностей четырех активов A, B, C, D и ковариационная матрица.

Электронная модель задачи включает несколько шагов выполнения:

1. Ввод исходных данных: начертить 3 таблицы, как показано на рисунке 4. При этом в таблицу «Ожидаемые доходности» и таблицу «Ковариационная матрица» внести заданные значения. Ячейки строки «Доля» таблицы «Портфель» оставить пока пустыми.