Курсовая работа по курсу «Основы теории управления» (стр. 4 )

> 0

(12k – 280)*(5+9k) – (15+5k)*10k = 60k + 108k2 – 140 – 252k – 150k – 50k2 = 58k2 – 342k – 140

k1 = -0,38 k2 = 6,28

k3 = 0 k4 = -0,56

K ∈ (-∞; -0.38) U (-0.56; 0) U (6.28; +∞)

Окончательная диаграмма и ответ

K ∈ (-∞; -3) U (6.28; +∞)

3.2 По Гурвицу:

CK(s, K) =

CK0 = -3; CK1 = 2.3; CK2 = -0.56; CK3 = 0

K ∈ (-∞; -3) U (0; +∞)

Mk2(k) = Ck1(k) * Ck2(k) – Ck0(k) * Ck3(k) = 2,3 * (-0,56) – (-3)*0 = (12k - 28)*(5+9k) – (15+5k)*10k = 58k2 – 342k – 140

k1 = -0,38; k2 = 6,28

K € (-∞; -3) v (6,28; +∞)

Вывод:

По методу Гурвица и Михайлова результаты устойчивости сошлись: K € (-∞; -3) v (6,28; +∞)

4. Вывод передаточной функции W3(s ) замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью. Исследование ее устойчивость от параметра методом Гурвица. Получение диапазонов устойчивых и неустойчивых значений параметра.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид

W3(s ) = ; C(s) = A(s) + B(s)

A(s) =

B(s) = -70s – 50

ХП замкнутой системы имеет вид

C(s) = -50s3 – 40s2 – 88s – 10 – 70s – 50 = -50s3 – 40s2 – 158s – 60

W3(s ) =

B(s, k) = (30 + 20k)*s + 10k

A(s, k) = 10k*s3 + (5 + 9k)*s2 + (12k - 28)*s + (15 + 5k)

C(s, k) = (30 + 20k)*s + 10k + 10k*s3 + (15 + 9k)*s2 + (12k - 28)*s + (15 + 5k) = 10k*s3 + (5 + 9k)*s2 + (32k + 2)*s + (15k + 15)

Матрица Гурвица

M2 = C1 * C2 – C0 * C3 = (32k + 2)*(5+9k) – (15k + 15)*10k = 138k2 + 28k + 10

Коэффициенты полинома

C0 = -1; C1 = -2/32; C2 = -0,56; C3 = 0

K € (-∞; -1) U (0; +∞)

K=-5; -1; -0.5; 6,28

5. Составить список параметров из всех граничных значений и по одному из каждой области устойчивости и неустойчивости замкнутой системы. Для каждого параметра построить годограф Михайлова разомкнутой системы и найти число n+ правых корней ее характеристического полинома (ХП).

n+ = ; n – степень полинома, – изменение аргумента в квадрантах

Cз = 10k*(s3) + (5+9k)*s2 + (-28 +12k)*s + 5k + 15

Список параметров

k = -5; -1; -0,5; 6,28

5.1. k = -5

C = -50s3 – 40s2 – 158s – 60

n = 3 = 3 n+ = 0 => Система является устойчивой

5.2 k = -1

При данном k, годограф выходит из начала координат. Необходим дополнительный анализ.

При k = -1 – 0,1 = -1,1 à n = 3 = 3 n+ = 0 => Система является устойчивой

При k = -1 + 0,1 = -0,9 à n = 3 = 1 n+ = = = 1 => Система неустойчивая

Следовательно, при k = -1 = система нейтральна

5.3. k = -0,5

При k = -0,5 à n = 3 = 1 n+ = =1 => Система неустойчивая

5.4. k = 5

n = 3 = 3 n+ = 0 => Система является устойчивой

5.5. k = 6,28

n = 3 = 3 n+ = 0 => Система является устойчивой

6. Для каждого значения параметра построить все необходимые частотные характеристики и исследовать устойчивость замкнутой системы по критериям Найквиста и Михайлова.

6.1. Определение устойчивости системы по Найквисту по годографу.

Критерий устойчивости Найквиста: для устойчивости замкнутой системы с контурной передаточной функцией Wк(s), имеющей n+ правых полюсов, необходимо и достаточно, чтобы вектор Найквиста N(jω) при увеличении частоты ω от 0 до ∞ имел изменение аргумента в квадрантах ΔkN = 2n+, или 180n+ градусов, или πn+ рад.

·  Wk(s) = W(s) * W0(s), где W0(s) = 1;

·  n+ (n+ = (n - Δk) / 2) определяется по годографу функции Wk(j*ω). В нашем случае, при единичной обратной связи она имеет вид B(s) / A(s);

·  Δk = Δkз – Δkр, т. е. Δk в общем случае это число (изменение аргумента) измеряется обходом графика годографа вокруг точки начала координат в положительном (против часовой стрелки, со знаком «плюс») или отрицательном направлениях (по часовой стрелке, со знаком «минус») по квадрантам. Δkз – определяется по годографу Cз(j*ω) замкнутой системы (Cз+ = A(s) + B(s)). Δkр определяется по годографу A(j*ω) – характеристическому полиному разомкнутой системы.

У нас есть четыре значения параметра K (-5, -1, -0.5, 6.28). По критерию Михайлова разомкнутая система устойчива при следующих параметрах: K = -5, 6.28; при K = -0.5 система неустойчива; а при K = -1 система нейтральна. Проверим эти утверждения по критерию Найквиста.

Рассмотрим начальные параметры: передаточную функцию разомкнутой системы (W(s, K) = Wk(s, K)), характеристический полином разомкнутой системы (Cp(s, K) = A(s, K)) и характеристический полином замкнутой системы (Cз(s, K) = A(s, K) + B(s, K)).

1)  Рассмотрим систему с параметром K = -5

При таком значении параметра передаточная функция W(s, K) переходит в функцию W(s, -5), соответственно вычисляются и A(s, -5), C(s, -5).

Рассмотрим графики годографов.

рис. 6.1 рис. 6.2

рис. 6.3

На рис. 6.1 представлен годограф характеристического полинома разомкнутой системы A(j*ω). На рис. 6.2 годограф характеристического полинома замкнутой системы C(j*ω). А на рис. 6.3 представлен годограф передаточной функции разомкнутой системы W(j*ω). Начало годографа помечено крестиком на графике, его продолжение отмечено стрелками.

Определим устойчивость либо неустойчивость системы: вектор N(j*ω) при изменении частоты от 0 до ∞ имеет изменение аргумента в квадрантах ΔkN = 0, количество правых корней n+ = (3 - 3) / 2 = 0, следовательно, по критерию Найквиста ΔkN = 2 * n+ (0 = 0). В нашем случае равенство выполняется – система при параметре K = -5 устойчива.

2)  Рассмотрим систему с параметром K = -1.

рис. 6.4

При таком параметре k=-1 график годографа ПФ РС W(j*ω) построен на рисунке (рис. 6.4). По графику также видно, что он выходит из точки Найквиста. Тем самым мы не можем определить, устойчива система или нет – поэтому необходимо сдвинуть график на малое число ξ = ±0.1 для определения устойчивости системы с таким параметром K=-1.

ξ = 0.1 -> K = -0.9. При таком значении рассмотрим функции W(s, -1), A(s, -1) и C(s, -1):