Курсовая работа по курсу «Основы теории управления» (стр. 5 )

Рассмотрим графики годографов.

рис. 6.5 рис. 6.6

рис. 6.7

На рис. 6.5 представлен годограф характеристического полинома разомкнутой системы A(j*ω). На рис. 6.6 годограф характеристического полинома замкнутой системы C(j*ω). А на рис. 6.7 представлен годограф передаточной функции разомкнутой системы W(j*ω). Начало годографа помечено крестиком на графике, его продолжение отмечено стрелками.

Определим устойчивость либо неустойчивость системы: изменение аргумента в квадрантах ΔkN = 0, количество правых корней n+ = (3 - 1) / 2 = 1, следовательно, по критерию Найквиста ΔkN = 2 * n+ (0 ≠ 2). В нашем случае равенство не выполняется – система при параметре K = -0.9 неустойчива.

Теперь возьмем ξ = -0.1 -> K = -1.1. При таком значении рассмотрим функции W(s, -1), A(s, -1) и C(s, -1):

Рассмотрим графики годографов.

рис. 6.8 рис. 6.9

рис. 6.10

Определим устойчивость либо неустойчивость системы: изменение аргумента в квадрантах ΔkN = 2, количество правых корней n+ = (3 - 1) / 2 = 1, следовательно, по критерию Найквиста ΔkN = 2 * n+ (2 = 2). В нашем случае равенство выполняется – система при параметре K = -1.1 устойчива.

Из двух экспериментов и изученных графиков годографов, когда ξ = ±0.1, было установлено, что в первом случае системы имеет неустойчивый характер, а в другом – устойчивый.

Следовательно, система нейтральна при параметре K = -1.

3)  Рассмотрим систему с параметром k = -0.5.

Графики W(s, -0.5), A(s, -0.5), C(s, -0.5) при таком значении параметра K будут выглядеть:

Рассмотрим графики годографов.

рис. 6.11 рис. 6.12

рис. 6.13

Определим устойчивость либо неустойчивость системы: изменение аргумента в квадрантах ΔkN = 0, количество правых корней n+ = (3 - 1) / 2 = 1, следовательно, по критерию Найквиста ΔkN= 2 * n+ (0 ≠ 2). В нашем случае равенство не выполняется – система при параметре K = -0.5 неустойчива.

4)  Рассмотрим систему с параметром K = 6.28.

Графики W(s, 6.28), A(s, 6.28), C(s, 6.28) при таком значении параметра K будут выглядеть:

Рассмотрим графики годографов.

рис. 6.19

рис. 6.20

рис. 6.21

Определим устойчивость либо неустойчивость системы: изменение аргумента в квадрантах ΔkN = 4, количество правых корней n+ = (3 + 1) / 2 = 2, следовательно, по критерию Найквиста ΔkN = 2 * n+ (4 = 4). В нашем случае равенство выполняется – система при параметре K = 6.28 устойчива.

6.2. Определение устойчивости системы по Найквисту по ЛЧХ.

Логарифмический критерий устойчивости Найквиста формулируется следующим образом: для устойчивости замкнутой системы с контурной передаточной функцией Wk(s), имеющей n+ правых полюсов, необходимо и достаточно, чтобы на интервалах частот, где Lк(ω) > 0, число пересечений характеристикой Φк(ω) граничных уровней фазы ϕгр = 180° ± 360°k составляло в сумме n+ / 2.

Также как и в первом пункте, мы имеем четыре значения параметра K (-5, -1, -0.5, 6.28). Подставляем данные параметры в передаточную функцию и строим логарифмические амплитудно-частотные характеристики. Они строятся по следующим формулам:

1)  Рассмотрим при K = -5.

рис. 6.22 рис. 6.23

На рис. 6.22 и 6.23 построены графики логарифмической амплитудно-частотной характеристики и логарифмической фазо-частотной характеристики передаточной функции разомкнутой системы. По ним и определим устойчивость данной системы.

Lk(ω) > 0 при ω < 1.66 рад/с. В этом диапазоне нет переходов через ϕгр. В пункте 6.1 было рассмотрено и вычислено число правых корней для k=-5: n+ = 0. Можно сделать вывод о том, что система устойчива (0 = 0, нет переходов и n+/2 = 0).

Также необходимо разложить передаточную функцию на множители (типовые звенья) и рассмотреть их. На рис. 6.24 показано разложение функции Wk(s) на множители. Теперь необходимо выделить типовые звенья и построить их частотные характеристики на одном графике. На рис. 6.25 выделены функции типовых звеньев. Теперь необходимо построить их на графике (рис. 6.26).

рис. 6.24

рис. 6.25

рис. 6.26

На рис. 6.26 изображены ЛАЧХ и ЛФЧХ передаточной функции и типовых звеньев. По графикам видно, что L(ω) = L1(ω) + L2(ω) + L3(ω), также ϕ(ω) = ϕ1(ω) + ϕ2(ω) + ϕ3(ω).

2)  Рассмотрим при K = -1.

Рассмотрим ПФ при K=-1 и ее ЛАЧХ. По графику, построенному нижу видно, что L(w)≈0 до ω = 0.1. Поэтому нельзя определить отрезок L(ω)>0. Рассмотрим графики ЛФЧХ и ЛАЧХ при K = -1 ± ξ (ξ = 0.1).

Рассмотрим при K = -1.1 графики ЛФЧХ и ЛАЧХ.

рис. 6.27

На рис. 6.27 видно, что на графике ЛАЧХ L(ω) > 0 при ω < 0.13. В данном диапазоне нет полных переходов, но ЛФЧХ начинается от 180˚ в точке А, такое начало считается за полперехода, т. е. количество переходов = 0.5. Теперь вспомним п. 6.1 при K=-1.1, что количество правых корней n+ = 1, следовательно, по критерию Найквиста мы получаем устойчивую систему (0.5 = 0.5, половина перехода и один правый корень, деленный на два).

Разложим передаточную функцию на множители и выделим типовые звенья (рис. 6.28).

рис. 6.28

Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ типовых звеньев и общей передаточной функции на одном графике (рис. 6.29).

рис. 6.29

По графикам видно, что L(ω) = L1(ω) + L2(ω) + L3(ω), также ϕ(ω) = ϕ1(ω) + ϕ2(ω) + ϕ3(ω).

Рассмотрим при K = -0.9 графики ЛФЧХ и ЛАЧХ.

рис. 6.30

По графику ЛАЧХ видно, что L(ω) > 0 при 1.91 < ω < 2.2. В этом диапазоне на графике ЛФЧХ нет ни одного перехода. А правых корней при этом параметре K=-0.9 n+ = 1. Следовательно, делаем вывод, что система неустойчива (0 ≠ 0.5).