Практикум по электромагнетизму, оптике и атомной физике (стр. 9 )

.

Учтя, что <<b пренебрежем слагаемыми порядка , последнее равенство запишем в виде

.

Отсюда имеем искомое выражение

.

Задача 4. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает параллельный пучок лучей с длиной волны =0,5мкм. Помещенная вблизи решетки линза проектирует дифракционную картину на плоский экран, удаленный от линзы на L= 1м. Расстояние между двумя максимумами первого порядка, наблюдаемыми на экране, =20,2см. Определить: а) постоянную дифракционной решетки; б) число максимумов, которые дает решетка; в) максимальный угол отклонения лучей, соответствующих последнему дифракционному минимуму.

Анализ и решение

Сделаем рисунок, поясняющий условие задачи (рис. 3.).Здесь ДР - дифракционная решетка, Л - линза, Э - экран.

а) Постоянная дифракционной решетки (а+в), длина волны и угол отклонения лучей , соответствующий k - му дифракционному максимуму, связаны соотношением:

, (1)

где k - порядок спектра или в случае монохроматического света порядок максимума. В данном случае , (ввиду того, что <<L), (см.

рис.3).

С учетом этих равенств соотношение (1) примет вид

.

Откуда искомая величина

Подставляя данные, получим .

б) Для определения числа максимумов, даваемых дифракционной решеткой, вычислим сначала максимальное значение kmax исходя из того, что максимальный угол отклонения лучей дифракционной решеткой не может превышать 90о. Из формулы (1) найдем

.

Подставляя сюда значения величин, получим .

Но k должно быть целым и в то же время оно не может принять значение, равное 10, так как при этом значении sin будет больше 1, что невозможно, следовательно, kmax = 9.

Общее число максимумов, даваемых дифракционной решеткой, подсчитаем так. Влево и вправо от центрального максимума будет наблюдаться по одинаковому числу максимумов, равному kmax, т. е. всего 2 kmax. Если учесть и центральный нулевой максимум, получим общее число максимумов

.

в) Максимальный угол отклонения лучей, соответствующих последнему дифракционному максимуму, найдем по формуле (1)

,

Отсюда искомое значение угла .

Законы теплового излучения и фотоэффекта

Задача 1. Определите длину волны, соответствующую максимуму энергии излучения лампы накаливания. Нить накала лампы имеет длину ℓ=15 см и диаметр d=0,03 мм. Мощность потребляемая лампой Р=10Вт. Нить лампы излучает как серое тело с коэффициентом поглощения α=0.3, при этом 20% потребляемой энергии передается другим телам теплопроводностью и конвекцией.

Анализ и решение. По закону смещения Вина, длина волны для максимума испускательной способности абсолютно черного тела:

, (1.1)

Температуру нити можно найти, используя закон Стефана-Больцмана, применительно к серому телу с учетом потери мощности на теплопередачу:

(1.2)

Таким образом, выразив температуру из соотношения и подставив в (1.1), получим:

.

Ответ: λmax=1,2 мкм.

Задача 2. Металлические шары из алюминия и стали диаметром = 10 см, обладающие теплоемкостями соответственно = 896 Дж/(кг∙К) и = 460 Дж/(кг∙К), от начальной темпе­ратуры =1000 К остывают вследствие лучеиспускания. Коэффициенты поглощения и . Через сколько времени температуры шаров станут равными Тl =300 К?

Анализ и решение. Изменение внутренней энергии шара при остывании выража­ется известной формулой термодинамики:

, где индексы (2.1)

То же изменение внутренней энергии можно выразить через энергети­ческую светимость, площадь поверхности шара и время:

(2.2) Приравняем правые части уравнений (2.1) и (2.2):

-

Разделим переменные:

- (2.3)

Интегрируя (2.3) по всему промежутку времени охлаждения шаров, получим:

, (2.4)

где - постоянная интегрирования, значение которой мо­жет быть найдено из (2.4) при начальном условии t=0, т. к. Т=Т0..Тогда

(2.5)

Отсюда время остывания несложно выразить из (2.5):

Так для алюминиевого шара tAℓ=11,1ч время остывания больше, чем для стального tст=2,6ч.

Ответ: tAl = 11,1 ч; tст=2,6 ч.

Задача 5. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1)ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ1=0,155 мкм; 2) -излучением с длиной волны λ2=1 пм (АAg=7,7 эВ).

Анализ и решение. Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из

уравнения Эйнштейна для фотоэффекта одноэлектронного приближения:

ε=А+Тmax , (5.1)

где ε- энергия фотонов, падающих на поверхность металла; А – работа выхода; Тmax - максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Энергия фотона вычисляется также по формуле:

ε=hc/λ , (5.2)

где h - постоянная Планка; с - скорость света в вакуума; λ - длина волны.

Кинетическая энергия электрона может быть найдена по формуле (при <<с ):

(5.3)

или по релятивистской формуле ( при ~с ) из специальной теории относительности:

, и , (5.4)

в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект. Если энергия ε фотона много меньше энергии покоя ео= 0,51 МэВ электрона, то может быть применена формула (5.3) для «медленных» электронов. Если же она сравнима по величине с E0 , то вычисление по формуле классической физики (5.3) при­водит к ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (5.4).