Математическое моделирование физических процессов (стр. 2 )

1.4.5 Проверьте, что уравнение имеет общее решение , где и − произвольные дважды дифференцируемые функции.

В задачах 1.4.6−1.4.9 определите тип уравнений.

1.4.6

1.4.7

1.4.8

1.4.9

2 Математическая модель теплопроводности

2.1 Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа

Распространение тепла в тонком стержне. Рассмотрим процесс распределения температуры в стержне. Будем предполагать, что стержень длины L однородный, теплоизолированный с боков, достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой (рис. 2.1). Внутренние источники тепла отсутствуют. Вдоль оси стержня направлена ось абсцисс, тогда температура U будет являться функцией координаты x и времени t;

Рис. 2.1

При указанных предположениях из основного уравнения сохранения количества тепла получено уравнение теплопроводности [3]

(2.1)

где − постоянный, определяемый свойствами материала, коэффициент температуропроводности.

Уравнение (2.1) линейное и однородное параболического типа, оно связывает − скорость изменения температуры во времени и − выпуклость температурного профиля U(x,t), которая служит мерой отличия температуры в данной точке х от температуры в соседних точках. То есть температура U(x,t) в точке x в момент времени t увеличивается (), если температурный профиль вогнутый (), и уменьшается (), если температурный профиль выпуклый ().

Уравнение

(2.2)

описывает теплопроводность в стержне с учетом теплообмена через боковую поверхность стержня. Отток тепла или его приток пропорционален разности между температурой U стержня и температурой окружающей среды , const.

Неоднородное уравнение

(2.3)

соответствует случаю, когда внутри стержня есть тепловые источники; например, через стержень пропускают ток, происходит химическая реакция и т. д.; – функция, описывающая влияние источников тепла в точке x стержня в момент времени t.

Уравнение диффузии. Если примесь распространяется вдоль потока, движущегося со скоростью , положительное направление оси Оx выбрано вдоль потока, то концентрация U(x,t) примеси удовлетворяет уравнению конвективной диффузии

,

где – описывает вклад диффузии, – конвективная компонента.

Вывод перечисленных уравнений можно найти в книгах [2, 3].

Изменение продольных сил и перемещений в бесстыковом пути. В качестве эмпирической модели участка бесстыкового пути на железобетонных шпалах, работающего под действием продольных сил, можно считать упругий стержень в вязкой среде [4]. Уравнение изменений продольных перемещений, соответствующее такой модели, имеет вид

где – продольное перемещение шпалы; N – коэффициент относительной вязкости вдоль оси пути; t – время; ось ox направлена вдоль оси пути.

Уравнение изменения продольной силы F в рельсовой плети в рассматриваемой модели имеет вид

2.2 Начальные и граничные условия

Для выделения единственного решения уравнения параболического типа необходимо к уравнению присоединить начальное и граничные условия.

Граничные условия. В задачах теплопроводности обычно используют граничные условия (ГУ) трех типов.

1 На концах стержня задана температура (ГУ первого рода):

где заданы в промежутке времени, в течение которого изучается процесс.

2 Задан тепловой поток, протекающий через торцевые сечения стержня (ГУ второго рода):

где известны.

В частности, через теплоизолированные концы стержня не проходит тепловой поток, и ГУ принимают вид:

3 Задана температура окружающей среды (ГУ третьего рода).

Пусть левый конец стержня находятся в соприкосновении со средой, температура которой , а правый конец помещен в среду, температура которой . Для вывода ГУ рассмотрим два представления выходящего через конец стержня потока тепла.

Поток тепла Q, проходящий через единицу площади за единицу времени, находится по экспериментально полученной формуле

, (2.3)

где – коэффициент теплопроводности, зависящий от материала стержня. Знак минус в формуле (2.3) объясняется тем, что величина теплового потока считается положительной, когда тепло проходит в сторону возрастания x. Например, если то температура с возрастанием x увеличивается, и тепловой поток будет направлен от более нагретых участков к менее нагретым, т. е. его величина будет отрицательной. На правом конце стержня направление вытекающего потока тепла совпадает с направлением оси , и поток равен . На левом конце эти направления противоположны, и выходящий поток равен .

С другой стороны, по закону Ньютона поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур на конце стержня и окружающей среды, т. е. на левом конце равен и на правом конце равен , где – коэффициент теплообмена, зависящий от физических свойств стержня и среды. Полагают, что , т. е. поток тепла положителен, когда тепло уходит из стержня в окружающую среду.

Приравнивая выражения для выходящего потока тепла, получим:

Окончательно ГУ третьего рода имеют вид

где . Внешние среды на концах стержня могут быть разными, поэтому значения коэффициента на концах стержня может быть тоже разными.