Математическое моделирование физических процессов (стр. 5 )

(НУ)

3.5.2 (УЧП) , 0 < х < 1, 0 < t <

(ГУ) 0 < t <

(НУ)

3.5.3 (УЧП) , 0 < x < 1, 0 < t <

(ГУ) 0 < t <

(НУ)

4 Модели стационарных процессов

4.1 Лапласиан

Оператор Лапласа − важный оператор математической физики. В двумерном случае лапласиан записывается в виде в трехмерном случае .

Основное свойство двумерного оператора . Средним значением функции U(x,y) в соседних точках будем называть среднее значение функции либо по окружности, либо по кругу с центром в точке М(х,y).

Если:

1 U(M) > 0, то U(M) меньше среднего значения функции в соседних точках.

2 U(M) = 0, то U(M) равна среднему значению функции в соседних точках.

3 U(M) < 0, то U(M) больше среднего значения функции в соседних точках.

Используя оператор Лапласа, уравнение теплопроводности (2.5) запишется в виде . Согласно этому уравнению скорость изменения температуры пропорциональна величине . Если (М) > 0, то температура в точке М меньше средней температуры в соседних точках, следовательно, температура в точке М будет возрастать.

Уравнение колебаний мембраны (3.2) примет вид: . Согласно этому уравнению ускорение точки мембраны пропорционально величине . Следовательно, точка мембраны ускоряется вверх, если смещение в точке меньше среднего смещения соседних точек.

При исследовании стационарных процессов теплопроводности, колебаний, диффузии и др. приходят к уравнению Лапласа или Пуассона.

Уравнение Лапласа

. (4.1)

Если функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то её значение всегда совпадает со средним значением. Например, уравнению Лапласа удовлетворяет натянутая неподвижная резиновая мембрана. Следовательно, смещение мембраны в любой точке равно среднему смещению мембраны на окружности с центром в этой точке. Решения уравнения называются гармоническими функциями.

Уравнение Пуассона

(4.2)

где f − константа или функция, зависящая от пространственных переменных.

Уравнение описывает потенциал электростатического поля, − плотность статических зарядов.

Уравнение описывает стационарное распределение температуры от теплового источника g(x,y).

Если g(M) > 0, то в точке М(х,y) тепло выделяется, если g(M) < 0, то тепло в точке М(х,y) тепло поглощается.

Во многих задачах необходимо знать выражение лапласиана в других системах координат.

В полярных координатах (r,q):

.

В цилиндрических координатах (r,q,z):

.

Представление лапласиана в различных системах координат можно найти в учебнике [3].

4.2 Задачи

4.2.1 Запишите волновое уравнение в полярных координатах, если U зависит только от r и t.

4.2.2 Запишите уравнение Лапласа в полярных координатах, если U зависит только от r. Каково решение этого уравнения?

Эти функции называются потенциалами с круговой симметрией.

4.2.3 Убедитесь, что уравнение Пуассона заменой V = U – U0, где − частное решение уравнения Пуассона, сводится к уравнению Лапласа .

4.3 Краевая задача для уравнений эллиптического типа

Уравнения с частными производными, не содержащие производных по времени, не требуют начальных условий. Для них нужны только граничные условия.

Для уравнений Лапласа и Пуассона краевая задача с граничными условиями первого рода называется задачей Дирихле. Требуется найти решение уравнения (4.1) или (4.2) в некоторой области, которое совпадает с заданной функцией g на границе области. Задача Дирихле разрешима и имеет единственное решение для всякой непрерывной функции g [3].

Примеры задач Дирихле

1 Рассмотрим уравнение Лапласа внутри круга единичного радиуса с заданными значениями решения на границе:

(УЧП) , 0 < r < 1,

(ГУ)

2 Внешняя задача Дирихле, для которой решение уравнения Лапласа ищется вне круга, а граничные значения заданы на окружности:

(УЧП) , 1 < r <

(ГУ)

Краевая задача с граничными условиями второго рода называется задачей Неймана. Требуется найти решение уравнения Лапласа или Пуассона в некоторой области, на границе которой задана внешняя нормальная производная , пропорциональная втекающему потоку.

Примеры задач Неймана

1 Стационарное распределение температуры внутри круга. Тепловой поток на границе круга изменяется по закону .

(УЧП) 0 < r < 1,

(ГУ)

Поскольку полный поток тепла через границу , то можно утверждать, что температура каждой точки внутри круга не изменяется во времени. Задача Неймана (для уравнения Лапласа) имеет смысл только в том случае, когда полный поток тепла через границу равен нулю, иначе задача не будет иметь решения.

Внутренняя задача Неймана

(УЧП) , 0 < < 1,

(ГУ)

не имеет физического смысла, так как постоянный единичный поток внутри области не обеспечивает стационарность решения.

Решение задачи Неймана определяется с точностью до аддитивной постоянной. Для выделения единственного решения нужна дополнительная информация, например, значение решения в одной точке.

Краевые задачи с граничным условием третьего рода

Требуется найти решение уравнения в некоторой области пространства, которое удовлетворяет на границе условию

.

Согласно этому граничному условию поток, втекающий в область через границу, пропорционален разности между температурой U на границе и заданной температурой окружающей среды g на границе.