Математическое моделирование физических процессов (стр. 8 )

31 Начальную скорость. 32 1. 33 3. 34 . 35 .

36 37 38 1-А; 2-Б; 3-В; 4-Г.

39 1-А; 2-Б; 3-В; 4-Г. 40 Дирихле.

Ответы к задачам

1.4.1 а) линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами гиперболического типа;

б) линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами параболического типа;

в) линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами параболического типа;

г) нелинейное уравнение;

д) линейное однородное уравнение с переменными коэффициентами; при − эллиптического типа, при у = 0 − параболического типа, при – гиперболическое;

е) линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами эллиптического типа.

1.4.2 Нет, если ; − решение уравнения, если уравнение однородное, т. е. .

1.4.3 , где j − произвольная функция.

1.4.6 Гиперболический. 1.4.7 Эллиптический.

1.4.8 Параболический. 1.4.9 Эллиптический.

2.3.1 Например, ГУ 1-го рода или ГУ 2-го рода или ГУ 3-го рода

2.3.2 а) на левом конце стержня поддерживается постоянная (нулевая) температура; б) левый конец стержня теплоизолирован; в) левый конец стержня соприкасается со средой, температура которой равна нулю; г) правый конец стержня соприкасается со средой, температура которой равна нулю.

2.3.4 Распределение температуры в стержне для различных моментов времени изображено на рис. 1.

Рис. 1

2.3.5 .

2.3.6 (УЧП) 0 < x < 1, 0 < t <,

(ГУ)

(НУ)

2.3.7 Тонкий однородный теплоизолированный с боков стержень без внутренних тепловых источников длиной L = 1 имеет начальную температуру , концы стержня теплоизолированы. Распределение температуры в стержне со временем выравнивается и с ростом t приближается к постоянному.

3.1.1 Уравнение является математической моделью затухающих поперечных колебаний туго натянутой струны единичной длины, сделанной из однородного материала, колеблющейся в одной плоскости (x,U). Концы струны все время неподвижны. Первоначальная форма струны , первоначальная скорость струны равна 0. Амплитуда колебаний струны со временем уменьшается.

3.1.2 Уравнение является математической моделью свободных поперечных колебаний туго натянутой струны единичной длины, сделанной из однородного материала, колеблющейся в одной плоскости (x,U). Левый конец струны все время неподвижен, а правый движется по закону . Первоначально струна принимает горизонтальное положение, первоначальная скорость струны равна 0.

3.1.3 . Уравнение линейное однородное, поэтому сумма двух его решений будет решением и CU тоже будет решением.

3.3.1 .

3.3.2 .

3.3.3

3.3.4

3.3.5 .

4.2.1 .

4.2.2 где − произвольные постоянные.

4.3.1 Нет, так как .

4.3.2 ; (ГУ) .

Библиографический список

1 Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / . – М.: Наука, 1981.

2 Голоскоков, Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: учебник для вузов / . – СПб.: Питер, 2004.

3 Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / , . – М.: Изд-во МГУ, 2004.

4 Новакович, В. И. Бесстыковой путь со сверхдлинными рельсовыми плетями / . – М.: Маршрут, 2005.

5 Данилова, Л. В. Уравнения математической физики: учеб. пособие / , , . – Ростов н/Д: РГУПС, 2009.

Оглавление

1 Классификация уравнений в частных производных...................................... 3

1.1 Введение............................................................................................... 3

1.2 Уравнения с частными производными 2-го порядка........................ 4

1.3 Свойства решений линейных однородных уравнений...................... 4

1.4 Задачи.................................................................................................. 5

2 Математическая модель теплопроводности.................................................. 6

2.1 Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа............... 6

2.2 Начальные и граничные условия........................................................ 7

2.3 Задачи.................................................................................................. 9

3 Математическая модель колебаний струны.................................................. 10

3.1 Одномерное волновое уравнение..................................................... 10

3.2 Формула Даламбера......................................................................... 12

3.3 Задачи о колебаниях бесконечной струны...................................... 16

3.4 Граничные условия для волнового уравнения................................ 16

3.5 Задачи о колебаниях конечной струны........................................... 17

4 Модели стационарных процессов................................................................ 18

4.1 Лапласиан.......................................................................................... 18

4.2 Задачи................................................................................................ 19

4.3 Краевая задача для уравнений эллиптического типа...................... 20

5 Тестовые задания........................................................................................... 22

Ответы к тестовым заданиям............................................................................ 32

Ответы к задачам.............................................................................................. 32

Библиографический список.............................................................................. 34

Учебное издание

Данилова Людмила Викторовна

Данилова Наталья Викторовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Печатается в авторской редакции

Технический редактор

Подписано в печать 12.02.15. Формат 60×84/16.

Бумага газетная. Ризография. Усл. печ. л. 2,09.

Тираж экз. Изд. № 000. Заказ.

Редакционно-издательский центр ФГБОУ ВПО РГУПС.

Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2.