Математическое моделирование физических процессов (стр. 1 )

РОСЖЕЛДОР

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ростовский государственный университет путей сообщения»

(ФГБОУ ВПО РГУПС)

,

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Учебно-методическое пособие

Ростов-на-Дону

2015

УДК 517 (07) + 06

Рецензент – доктор технических наук, профессор (ЮФУ)

Данилова, Л. В.

Математическое моделирование физических процессов: учебно-методическое пособие/ , ; ФГБОУ ВПО РГУПС. – Ростов н/Д, 2015. – 36 с.: ил. – Библиогр.: с. 34.

В пособии изложено, как физическую задачу сформулировать в виде уравнения с частными производными, рассмотрен физический смысл начальных и граничных условий для различных задач. Приведены примеры, задачи для практических занятий и тестовые задания для подготовки к зачету.

Предназначено для студентов 2-го курса специальности 08.05.02.65 «Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей».

Одобрено кафедрой «Высшая математика».

© , , 2015

© ФГБОУ ВПО РГУПС, 2015

1 Классификация уравнений в частных производных

1.1 Введение

Раздел математики, в котором изучаются математические модели физических процессов, называется математической физикой. Многие физические явления можно сформулировать на языке уравнений с частными производными. В этих уравнениях частные производные описывают такие важные физические величины, как скорость, ускорение, силу, трение, поток и т. д.

Уравнением с частными производными (УЧП) называется соотношение между неизвестной функцией нескольких переменных и её частными производными.

Наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.

Пусть неизвестная функция U = U, тогда

– УЧП первого порядка,

– УЧП второго порядка,

– УЧП третьего порядка.

Уравнение в частных производных называется линейным, если неизвестная функция и все её частные производные входят линейным образом в уравнение. Например,

линейные уравнения;

− нелинейные уравнения.

Дифференциальное уравнение означает, что U не зависит от y, т. е. U = где – произвольная функция.

Решим уравнение . Положим , тогда уравнение примет вид . Общим решением уравнения будет произвольная функция Возвращаясь к функции U, получим . Общим решением этого уравнения будет функция или где и – произвольные дифференцируемые функции.

Общее решение дифференциального уравнения с частными производными содержит произвольные функции. Число этих функций, вообще говоря, равно порядку уравнения. Число аргументов этих произвольных функций на единицу меньше числа аргументов решения U. Более точная формулировка этого утверждения содержится в теореме Коши – Ковалевской [1].

1.2 Уравнения с частными производными 2-го порядка

Линейным уравнением второго порядка с двумя независимыми переменными называется уравнение вида

(1.1)

где A, B, C, D, E, F, G – заданные функции от x и y или константы; U(x,y) – неизвестная функция.

Уравнение (1.1) называется однородным, если G(x,y) ≡ 0, и неоднородным, если G(x,y) ≢ 0. Например:

− линейные однородные уравнения;

− линейные неоднородные уравнения;

Все линейные уравнения с частными производными второго порядка вида (1.1) относятся к одному из трёх типов:

1)  гиперболическому, если B2 – AC > 0;

2)  параболическому, если B2 – AC = 0;

3)  эллиптическому, если B2 – AC < 0.

Например, уравнение параболического типа,

где A = 1, B = 0, C = 0, D = 0, E = – 1, F = 0, G = 0 и B2 – AC = 0.

Уравнение гиперболического типа, так как A = 1, B = 0, C = – 1, D = 0, E = 0, F = 0, G = 0 и B2 – AC > 0.

Многие физические процессы описываются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Уравнения гиперболического типа описывают колебательные системы и волновые движения. Уравнения параболического типа наиболее часто описывают процессы теплопроводности и диффузии. Уравнения эллиптического типа описывают установившиеся процессы.

1.3 Свойства решений линейных однородных уравнений

Сформулируем основные свойства решений уравнения (1.1), если

G(x,y) ≡ 0:

1 Если являются решениями уравнения (1.1), то их линейная комбинация

где произвольные постоянные, является решением уравнения (1.1).

2 Если каждая из функций является решением уравнения (1.1), то сумма ряда

при определенных условиях тоже является решением уравнения (1.1). Такими условиями являются равномерная сходимость ряда (1.2) и рядов, полученных двойным дифференцированием этого ряда по x и y [1, 3].

3 Если функция является решением уравнения (1.1) при всех возможных значениях параметра , то интеграл

является решением уравнения (1.1) при условии существования интеграла (1.3) и производных от него по x и y. Промежуток может быть конечным или бесконечным [1–3].

1.4 Задачи

1.4.1 Укажите, какие из нижеперечисленных уравнений являются линейными (нелинейными). Каков порядок этих уравнений? Каково число независимых переменных? Для линейных уравнений укажите вид коэффициентов (постоянные, переменные), однородность, тип (параболический, гиперболический, эллиптический):

а) б)

в) г)

д) е) .

1.4.2 Если функции и удовлетворяют уравнению (1.1), то удовлетворяет ли ему сумма этих функций? Докажите.

1.4.3 Найдите все функции, которые удовлетворяют уравнению

1.4.4 Проверьте, что уравнение имеет общее решение где − произвольная дифференцируемая функция.