Математическое моделирование физических процессов (стр. 3 )

ГУ на концах стержня могут быть разных типов.

Начальное условие. Все физические процессы должны начинаться в некоторый момент времени (обычно принимаемый за нулевой t = 0). Начальное условие (НУ) для уравнения теплопроводности состоит в задании температуры во всех точках стержня в начальный момент времени:

где − данная функция.

Начальные и граничные условия часто называют краевыми условиями, и соответствующую задачу называют краевой задачей.

Пример

Рассмотрим медный стержень длиной 200 см, боковая поверхность которого теплоизолирована и начальная температура которого 0 °C. Левый конец стержня теплоизолирован, а правый конец омывается движущейся водой, имеющей постоянную температуру

Математическая модель этой задачи описывается следующими соотношениями:

(УЧП) 0 < x < 200, 0 < t <,

(ГУ)

(НУ)

где − температуропроводность меди;

k = 0,93 кал/см · с · − теплопроводность меди;

h − коэффициент теплообмена, его определяют экспериментально.

Замечания

1 В математической физике выделяется важный класс корректно поставленных задач. Это задачи, для которых решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи (начальных и граничных условий, коэффициентов уравнения, свободного члена и т. д.). Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из перечисленных условий, называется некорректно поставленной. В книге [1] установлена корректность основных краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка в том или ином классе функций.

2 Уравнения теплопроводности для плоской пластины и для пространственного тела соответственно имеют вид:

, (2.5)

. (2.6)

Уравнения (2.5), (2.6) выведены в предположении, что физические величины, характеризующие свойства тела (удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности, плотность), постоянны; отсутствуют внутренние источники тепла [1, 3].

2.3 Задачи

2.3.1 Какие граничные условия позволяют теплоизолированному с боков стержню без внутренних тепловых источников все время находиться при постоянной температуре так, что = const для всех x и t, если ?

2.3.2 Дайте физическое истолкование следующих граничных условий в задачах теплопроводности:

а) U(0,t) = 0;

б)

в) ;

г) , h > 0.

2.3.3 Проверьте, что уравнение с постоянными коэффициентами k, c, m можно привести к уравнению вида (2.1) заменой , где , b = m – . Каким краевым условиям удовлетворяет V, если U удовлетворяет условиям первого или второго, или третьего рода?

2.3.4 Боковая поверхность тонкого однородного стержня теплоизолирована, отсутствуют внутренние источники тепла, начальная температура в стержне 0 ≤ x ≤ 1, и граничные условия таковы: . Как поведет себя температура в стержне при t > 0?

2.3.5 Пусть в стержне есть постоянный внутренний источник тепла, так что уравнение теплопроводности в стержне записывается в виде: 0 < x < 1. Граничные условия U(0,t) = 0, U(1,t) = 1. Какова будет стационарная температура в стержне, или к какому распределению температуры , не зависящему от t, стремится U(x,t)?

2.3.6 Тонкий однородный теплоизолированный с боков металлический стержень без внутренних тепловых источников длиной L = 1 имеет начальную температуру , а на концах фиксированные температуры 0 ºС и 10 ºС. Какова будет математическая модель этой задачи?

2.3.7 Какова физическая интерпретация задачи:

(УЧП) , 0 < x < 1, 0 < t < ,

(ГУ) 0 < t < ,

(НУ) U(x,0) = sin (πx), 0 ≤ x ≤ 1 ?

Попытайтесь представить графическое решение этой задачи в различные моменты времени. Что можно сказать о стационарной температуре?

3 Математическая модель колебаний струны

3.1 Одномерное волновое уравнение

Математической моделью поперечных колебаний туго натянутой струны, сделанной из однородного материала, колеблющейся в одной плоскости (x,U), при отсутствии внешних сил является уравнение

(3.1)

Функция U(x,t) характеризует вертикальное перемещение струны,

где t – время; х – абсцисса точки струны;

,

где Т – величина силы натяжения; r – линейная плотность струны.

Вывод уравнения (3.1) из механических соображений изложен в [3].

Рассмотрим физическую интерпретацию уравнения (3.1). – вертикальное ускорение струны; – характеризует выпуклость струны. Из уравнения (3.1) следует, что обусловленное натяжением ускорение струны в точке х в момент времени t тем больше, чем больше вогнутость струны в данной точке.

Если учитывать внешнюю силу F(x,t), действующую в вертикальном направлении и рассчитанную на единицу длины, то уравнение колебаний примет вид

Если струна колеблется в среде, то возникает сила сопротивления, пропорциональная скорости , тогда уравнение колебаний с учетом трения имеет вид

h > 0.

Вывод перечисленных уравнений можно найти в [3].

Замечания

1 Волновое уравнение (3.1) описывает также продольные и крутильные колебания стержня [2].

2 Так как волновое уравнение содержит производную по времени второго порядка, то для получения единственного решения при t > 0 необходимо задать два начальных условия:

U(x,0) = f(x) – начальное смещение струны,

– начальную скорость струны.

3 К двумерному волновому уравнению

(3.2)

сводится задача о свободных поперечных колебаниях однородной мембраны [2, 3]. Мембрана – тонкая натянутая пленка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу и оказывающая сопротивление растяжению.

4 В пространстве волновое уравнение имеет вид:

.

Это уравнение описывает распространение звука в однородной среде, электромагнитных волн в однородной непроводящей среде [3].

Задачи

3.1.1 Дайте физическую интерпретацию следующей задаче:

(УЧП) , 0 < x < 1, 0 < t < µ,

(ГУ) 0 < t < µ,

(НУ) 0 £ x £ 1.