Математическое моделирование физических процессов (стр. 4 )

Что вы можете сказать о поведении во времени решения этой задачи?

3.1.2 Дайте физическую интерпретацию следующей задаче:

(УЧП) , 0 < x < 1,

(ГУ) 0 < t < µ,

(НУ) 0 £ x £ 1.

3.1.3 Для уравнения найдите все решения вида U(x,t) = eax + bt. Будет ли сумма двух решений такого вида решением уравнения? Если U(x,t) – решение уравнения и С = const, то будет ли СU(x,t) тоже решением уравнения?

3.2 Формула Даламбера

Рассмотрим задачу Коши:

(УЧП) , –∞ < x < ∞, 0 < t < ∞,

(НУ) –∞ < x <∞.

Приведем уравнение к виду: ,

где x = x – at, h = x + at (см. [3]).

Общее решение уравнения (см. с. 3):

U = j(x) + y(h),

где j и y – произвольные дифференцируемые функции.

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:

.

Функции j и y подберем так, чтобы выполнялись начальные условия, тогда придем к решению исходной задачи в виде [3]:

. (3.3)

Замечание. Убедиться в правильности полученного решения (3.3) можно путем подстановки его в уравнение (3.1). При этом функция f(x) должна иметь производные первого и второго порядка, а функция g(x) – производную первого порядка.

Пример 3.1: Решить задачу, описывающую движение бесконечной струны, и найти форму струны в момент времени :

(УЧП) , –∞ < x < ∞, 0 < t < ∞,

(НУ)

Решение

Здесь a = 1, f(x) = sinx, g(x) = 1. По формуле (3.3) имеем .

– струна параллельна оси абсцисс в момент времени .

Пример 3.2. Решить задачу Коши:

(УЧП) , –∞ < x < ∞, 0 < t < ∞,

(НУ) –∞ < x < ∞.

Как выглядит решение в различные моменты времени?

Решение

По условию задачи g(x) = 0. По формуле Даламбера получим решение

.

С физической точки зрения решение представляет сумму двух бегущих волн, движущихся в противоположных направлениях со скоростью а = 1.

− волна, движущаяся слева направо;

− волна, движущаяся справа налево.

Положение струны в моменты времени t = 0, t = 1, t = 2, t = 3, t = 4 показано на рис. 3.1–3.5.

Рис. 3.1. Положение струны в момент времени t = 0

Рис. 3.2. Положение струны в момент времени t = 1

Рис. 3.3. Положение струны в момент времени t = 2

Рис. 3.4. Положение струны в момент времени t = 3

Рис. 3.5. Положение струны в момент времени t = 4

3.3 Задачи о колебаниях бесконечной струны

3.3.1 Решите задачу Коши:

(УЧП) , –∞ < x < ∞, 0 < t < ∞,

(НУ)

3.3.2 Решите задачу Коши:

(УЧП) , – < x < 0 < t < ∞,

(НУ) – < x < .

Постройте график решения в различные моменты времени.

3.3.3 Найдите форму струны в момент времени t = p, если движение струны описывает следующая задача:

(УЧП) , – < x < 0 < t < ∞,

(НУ) – < х < .

3.3.4 Решите задачу Коши:

(УЧП) , – < x < 0 < t < µ,

(НУ) – < x < .

3.3.5 Решите задачу Коши:

(УЧП) , – < x < 0 < t < ∞,

(НУ) – < x < .

3.4 Граничные условия для волнового уравнения

Рассмотрим волновое уравнение: , 0 < t < на конечном промежутке 0 < х < L.

Волновое уравнение описывает волновые процессы, и волны могут иметь разную природу. Это могут быть:

1) звуковые волны;

2) электромагнитные волны;

3) колебания твердых тел;

4) волны на воде;

5) колебания струны.

Обычно различают граничные условия трех типов:

1 Концевые точки совершают заданные движения:

2 Заданы силы в граничных точках:

Если концы перемещаются вдоль вертикальных направляющих без трения (свободные концы), то граничные условия принимают вид:

.

3 Упругое закрепление концов:

где T − натяжение струны; h − коэффициент упругости пружин, прикрепленных к концам струны; законы движения прикрепленных к концам пружин.

Граничные условия на концах могут быть разного типа.

3.5 Задачи о колебаниях конечной струны

Дайте физическую интерпретацию нижеследующим задачам. Попытайтесь изобразить в общих чертах решения этих задач.

3.5.1 (УЧП) < x < 2, 0 < t <

(ГУ) 0 < t <