Одно из требований ограничений состоит в том, что если задача решается на максимум, то среди системы уравнений и неравенств должно быть хотя бы одно ограничение типа меньше–равно либо равно (при решении на минимум – хотя бы одно ограничение типа больше – равно либо равно). Следует отметить, что при отсутствии названных ограничений величины переменных практически ничем не ограничены и решение задачи теряет смысл.
Другие требования к содержанию задачи вытекают из теории математического программирования, основные положения которой, имеющие непосредственное отношение к составлению экономико-мате-матических задач, изложены ниже.
Таким образом, решение ЭМЗ предполагает такой вариант решения системы неравенств и уравнений, при котором функция F принимает максимальное значение (при решении задачи на максимум) или минимальное (при решении задачи на минимум). Отсюда следует, что содержание экономико-математической задачи, с одной стороны, должно включить в себя множество альтернативных вариантов, с другой стороны, – позволять выбрать такой вариант, при котором значение функции отвечало бы конкретным требованиям производства.
Для решения системы неравенств и уравнений ЭМЗ необходимо, чтобы содержание и взаимосвязи ее элементов соответствовали требованиям теории определителей, матриц, векторных пространств и выпуклых множеств.
Глава 1. Понятие определителей, их значение в построении
экономико-математических задач
Решение ЭМЗ, условия которой записаны в виде совокупности уравнений и неравенств, сводится к решению системы уравнений. Чтобы выяснить то, каким требованиям должна отвечать эта система и каковы принципы нахождения переменных, обратимся к теории определителей. С целью упрощения, сведем систему, состоящую из множества неравенств и уравнений экономико-математической задачи, к системе двух уравнений с двумя неизвестными:
Чтобы решить эту систему, используем метод уравнивания коэффициентов и алгебраического сложения переменных. Умножим первое уравнение на а22, второе – на а12 и уравняем коэффициенты при х2:
Вычитая из первого уравнения второе, получим
или 
.
Умножив первое уравнение на а21, второе – на а11, уравняем коэффициенты при 
, и получим по аналогии
Если 
, то получим
Как следует из приведенных выражений, их знаменатели составлены по одинаковому принципу. Чтобы выяснить это, достаточно выписать коэффициенты системы двух уравнений:
где первое выражение – произведение коэффициентов главной диагонали, второе – побочной.
Это выражение – определитель 2-го порядка (детерминант). Обозначим его таблицей с вертикальными чертами. Коэффициенты 
– элементы определителя. Произведение 
и 
– члены определителя.
Таким образом, если вместо первого и второго столбцов поставим 
и 
, т. е.
то получим определители второго порядка, где первый 
– определитель системы, а вторые 
и 
– определители переменных х1 и х2.
Формулы для расчета значений переменных можно записать в виде
, 
,
или 
, 
,
где 
– соответственно определители системы и переменных х1, х2.
Эти же подходы правомерны при увеличении размерности системы. Система имеет три уравнения с тремя переменными, т. е.
, , 
,
где
Таким образом, определитель D второго порядка содержит 
элемента и 
члена. Определитель D третьего порядка имеет 
элементов и 
членов. Определитель D n-го порядка имеет n2 элементов и n! членов.
Поскольку задачи экономического содержания обычно отличаются большой размерностью, возникает проблема определения знака отдельных членов определителя. При этом знак отдельных членов определителя зависит от состава элементов, составляющих члены определителя.
Для определения знака члена определителя обратимся к следующим рассуждениям.
В рассмотренных ранее определителях D элементы определителя записывались в определенном порядке. Однако в процессе вычислений возникает необходимость менять местами элементы.
Пусть имеется 1, 2, 3,..., п элементов. Если поменяем местами два элемента, то из-за этого получим новую перестановку или транспозицию.
Будем считать расположение чисел в перестановке в возрастающем порядке нормальным. Назовем инверсией (нарушением, беспорядком) положение, при котором большее число или номер элемента стоит левее меньшего.
В перестановке 1, 2, 3, 4 нет инверсий. В выражении 5, 3, 1, 2, 4 их будет несколько. Считаем, сколько впереди числа 1 цифр больше единицы. Их две. Затем перед цифрой 2 (не считая 1) – их тоже две. Затем перед цифрой 3 – одна. Впереди цифры 4 – одна. Впереди цифры 5 – ноль. Таким образом, мы имеем 6 инверсий. Понятие инверсий помогает решить, какой знак имеет член определителя D.
Пусть имеем определитель D из п строк и п столбцов, т. е. определитель n-го порядка
.
Определитель п-го порядка равен алгебраической сумме п! членов, каждый из которых представляет собой всевозможные произведения п элементов, взятых по одному и только по одному в каждой строке и каждом столбце. При этом знак члена равен (-1)t, где t – число инверсий в перестановке вторых индексов элементов члена, когда эти элементы расположены в порядке возрастания первых индексов.
или
,
т. е. произведение коэффициента первой строки и всех столбцов этой строки на элемент второй строки и всех столбцов этой строки и т. д. Итак, для любой системы уравнений правомерно выражение
,
где 
– определитель переменной 
;
D – определитель системы.
Из приведенного выражения следует, что значение 
реально, если 
, а 
, если 
. Отсюда следует, что с точки зрения теории определителей при составлении экономико-математической задачи необходимо исключить все случаи, которые приводят к отсутствию решения, т. е. к 
. При этом важно знать возможные изменения в составе элементов D, которые не влияют на величину D и значения .
Рассмотрим свойства определителя D.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 |
Основные порталы (построено редакторами)