В матрице из т строк и n столбцов ее строки будут m-мерными векторами, т. е. строки-векторы являются строками матрицы, а столб-цы – n-мерными векторами или вектор-столбцами матрицы.
Матрица (т × п ) может рассматриваться как mn-мерный вектор, если ее элементы читать подряд, т. е. строку за строкой.
Очевидно, что матрица, имеющая n строк, будет рассматриваться как совокупность n-мерных векторов или n-мерное векторное пространство.
Пусть 
– совокупность векторов. При этом вектор a1 включает компоненты 
и т. д.
Если каждый из этих векторов умножить на число и полученные значения сложить, то получим линейную комбинацию векторов, т. е. новый вектор 
:
.
Полученный вектор будет линейно зависимым, так как он является линейной комбинацией остальных векторов. В частности, на плоскости любые три вектора будут линейно зависимы, так как один из них можно записать как линейную комбинацию двух других.
Если же ни один из векторов 
не является линейной комбинацией остальных, то эти векторы называются линейно независимыми.
В экономико-математической задаче линейно независимый вектор выражает какую-то новую особенность явления или процесса, что выражается через вектор-строку или вектор-столбец.
Для линейной независимости векторов необходимо и достаточно, чтобы линейная комбинация этих векторов (т. е. новый вектор 
) была равна 0 только при 
.
И наоборот, совокупность векторов будет линейно зависима тогда, когда существуют числа 
, не все из которых равны нулю, но при этом имеет место равенство
.
Например, векторы а1=(2,1), а2=(1,1), а3=(–5,–4) линейно зависимы, так как 
;
Другой пример линейной независимости векторов: а1=(1,0,0), а2=(0,2,0), а3=(0,0,4).
Действительно, 
;
.
При этом вектор 
будет нулевым только в том случае, когда 
.
Линейная зависимость и независимость векторов имеют геометрический смысл.
В двухмерном пространстве линейная зависимость векторов а1, а2 означает, что оба вектора находятся на одной прямой и имеют одинаковое или противоположное направление (рис. 3.1).
у
а2
а1
0 х
Рис. 3.1
Если же два вектора а, b расположены под углом, то в этом случае нельзя получить один из них умножением другого на число λ (рис. 3.2).
b
a
Рис. 3.2
На плоскости двум линейно независимым векторам 
, 
соответствует определитель 
, не равный нулю. Абсолютное значение определителя D равно площади параллелограмма, построенного на векторах 
Значение определителя 
будет составлять объем параллелепипеда.
В трехмерном пространстве любые три вектора а1, а2, а3, не лежащие в одной плоскости, образуют базис этого пространства.
Это означает, что любой вектор трехмерного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации трех векторов. Следовательно, в трехмерном пространстве существует сколько угодно троек линейно независимых векторов, но любые четыре вектора уже являются линейно зависимыми. Таким образом, по аналогии в «n-мерном пространстве может быть только п линейно независимых векторов, а любой п + 1 вектор является линейно зависимым.
Исходя из этого, сформулируем понятие базиса n-мерного пространства. Базисом называется такая совокупность линейно независимых векторов, при которой любой вектор мерного пространства является линейной комбинацией векторов этой совокупности.
При этом можно доказать, что в n-мерном пространстве векторы линейно независимы и составляют базис n столбцов (в совокупности – единичную диагональную матрицу).
,
,
.
Для этих векторов выражение 
верно только в том случае, если 
.
Следует отметить, что любая другая совокупность из n-линейно независимых векторов образует базис пространства, если выражение верно только при . Если же наряду с 
имеется и вектор А, то векторов в этом случае будет больше чем п (т. е. больше числа плоскостей) и этот вектор линейно зависим, т. е.
в случае, когда 
не равны нулю одновременно.
Поскольку 
, то
,
т. е. вектор А является линейной комбинацией векторов базиса.
Коэффициенты 
в разложении произвольного вектора А по векторам базиса называются компонентами вектора А в этом базисе.
Глава 3. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ УСЛОВИЙ
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
3.1. Геометрическое представление условий
экономико-математической задачи
Геометрическое представление параметров вектора позволяет получить некоторые фигуры. Эти фигуры будут выпуклыми, если они ограничены несколькими отрезками. Например, плоская фигура является выпуклой, если она целиком содержит отрезок. К плоским выпуклым фигурам будут относиться круг, треугольник, многоугольник (рис. 3.3–3.5) и др.
|
Рис. 3.3. Рис. 3.4. Рис. 3.5.
Точки, в которых сходятся концы двух соседних сторон многоугольника, будут угловыми точками. Каждая сторона многоугольника является опорной прямой.
В трех и более (n-мерном) пространстве выпуклые фигуры называются выпуклыми телами (рис. 3.6). Особенность выпуклого тела состоит в том, что оно вместе с двумя точками отрезка содержит и сам отрезок.
 |
Рис. 3.6.
Крайними угловыми точками выпуклого тела или множества являются точки, которые не лежат внутри отрезков, соединяющих какие бы то ни было точки множества. Крайние точки называются экстремальными.
Однако при изучении выпуклых тел (множеств) следует знать не только параметры крайних точек, но и алгоритм определения параметров точки, лежащей на отрезке, соединяющем крайние точки.
Чтобы реализовать алгоритм, необходимо пользоваться линейными комбинациями. Их содержание должно соответствовать следующим условиям:
1) коэффициенты линейной комбинации для определения промежуточных точек должны быть положительными;
2) сумма этих коэффициентов должна быть равна единице. Пусть 
делит отрезок А В в отношении 
.
Тогда, взяв две любые независимые точки А и В, лежащие на прямой и образующие этот отрезок, можно определить параметры любой точки А, движущейся к точке В (рис. 3.7).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 |
Основные порталы (построено редакторами)