Эконометрика и ЭММ: модели теории массового обслуживания (стр. 3 )

Одними из характеристик потока случайных событий являются:

l – интенсивность входящего потока, т. е. среднее число требований, поступающих в систему в единицу времени. Данный параметр определяет скорость, с которой происходят события; m – интенсивность обслуживания заявок одним каналом при непрерывной его работе.

Математически доказано, что простейший поток требований с известным параметром l описывается законом французского физика и математика Пуассона:

где Рк(t) – вероятность того, что на произвольно выбранном участке времени продолжительностью t поступит ровно k требований; среднее число требований, поступающих за время t.

На рис. 2 схематически представлена специализированная система обслуживания пуассоновского типа, в которой параллельно функционирует несколько идентичных средств обслуживания. На нем видно, что ожидающее требование выбирается из очереди для обслуживания на первом свободном канале. Число требований, находящихся в системе обслуживания, включает те, которые уже обслуживаются, и те, что находятся в очереди.

Система обслуживания

Очередь Средства

обслуживания

Выходной

Входной поток

поток

Рис. 2. Схема многоканальной СМО

Важнейшей характеристикой, определяющей пропускную способность СМО, является время обслуживания, которое, как правило, является случайной величиной. Например, кассир в магазине обслуживает каждого покупателя за различное случайное время, зависящее от большого числа факторов. Наибольшее распространение в теории принятия решений получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения для этого закона имеет следующий вид:

т. е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторую величину t, определяется данной формулой.

При этом интенсивность обслуживания (m) является величиной, обратной среднему времени обслуживания ():

.

Во всех практических расчетах как входящие потоки, так и распределения вероятностей длительности обслуживания никогда не бывают известны с абсолютной точностью. О них приходится делать заключения либо на основании статистических данных, либо на базе некоторых теоретических соображений.

Рассмотрим типичную постановку задачи, решаемой с помощью теории массового обслуживания. Известными величинами являются заданный входящий поток требований, дисциплина обслуживания и закон распределения времени обслуживания. Нужно оценить качество и эффективность функционирования СМО и выявить возможность их улучшения.

При рассмотрении общих систем массового обслуживания предполагается, что система функционирует в течение достаточно большого интервала времени, по истечении которого в ее работе наступает стационарный режим. Теоретически установившийся режим наступает при , а вероятностные характеристики такой СМО уже не зависят от времени. Поэтому система значений вероятностей состояний, соответствующих предельному стационарному режиму работы СМО, называется финальными вероятностями.

Анализ характеристик работы различных систем массового обслуживания может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний СМО. Математическая модель СМО записывается в виде системы дифференциальных уравнений Колмогорова, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.

Для СМО с потерями важнейшей характеристикой является вероятность отказа в обслуживании (средняя доля требований, получающих отказ). Вероятность отказа определяет, в какой степени данная система обслуживания способна удовлетворить поступающий поток требований. Другими характеристиками таких систем являются вероятность обслуживания требования, среднее число занятых и простаивающих каналов и др.

Для СМО с ожиданием основными характеристиками являются средняя длина очереди, среднее время ожидания требованием начала обслуживания, коэффициенты загрузки и простоя каналов обслуживания, вероятность иметь в очереди в данный момент не более определенного числа требований и др.

При определении оптимальных параметров систем массового обслуживания в качестве выбранного критерия эффективности могут быть: количество каналов обслуживания, длина очереди, приоритет в обслуживании заявок и т. д. Часто применяется и стоимостный критерий, отражающий величину издержек, связанных с функционированием системы в единицу времени. Изменяя условия функционирования СМО, меняется и функция издержек (для исследователя важно найти ее наименьшее значение).

Следовательно, модели массового обслуживания в сочетании с экономической постановкой задач позволяют проводить анализ существующих СМО, разрабатывать рекомендации по их реорганизации для повышения эффективности работы, а также определять оптимальные показатели вновь создаваемых СМО.

Рассмотренные методы широко применяются при стационарном режиме работы СМО, причем в данных моделях предполагается воздействие на систему только простейших потоков случайных событий. Если нарушается хотя бы одно из требований, то используют методы имитационного моделирования. Алгоритм строится на основе следующих исходных данных:

1) определяется число каналов и их характеристики: производительность; закон распределения вероятностей продолжительности обслуживания заявки; правило вступления канала в работу; правило прекращения обслуживания;

2) на входе системы могут быть определены один или более случайных потоков заявок, имеющих любые законы вероятностного описания;

3) определяется дисциплина очереди, зависящая от времени и состояния системы;

4) определяется продолжительность времени моделирования системы.

Имитационное моделирование основывается на имитации случайных событий, происходящих в системе. Затем проводится статистическая обработка результатов моделирования с целью оценки качественных характеристик СМО. Для моделирования случайных событий применяются также псевдослучайные датчики. Они вырабатывают случайные величины с заданными характеристиками по специальному алгоритму имитационной модели. Затем проводится статистическая обработка результатов моделирования с целью оценки качественных характеристик СМО.

1.3. Задачи СМО с отказами (потерями)

Системы массового обслуживания с отказами (потерями) распространены достаточно широко. Особенностью их функционирования является то, что всякое требование, поступившее в систему в некоторый момент времени, либо сразу обслуживается, либо теряется, если в момент его поступления все обслуживающие каналы заняты.

Пусть имеется -канальная СМО с отказами. Она может находиться в следующих состояниях: в системе находится нуль требований (т. е. все каналы свободны), в системе находится одно требование, в системе находится требований,…, заняты все -каналы обслуживания. На вход поступает пуассоновский поток требований с заданной интенсивностью . Время обслуживания каждого требования изменяется по показательному закону. Производительность канала, или интенсивность потока обслуживания, – , т. е. среднее время обслуживания одной заявки одним каналом . Эти показатели имеют одинаковый смысл: плотность потока заявок, плотность потока обслуженных требований, покидающих канал. Обозначим черезприведенную плотность потока заявок, или интенсивность нагрузки ().

Следовательно, если все -каналы заняты, то требование получает отказ, т. е. покидает систему необслуженным. Если хотя бы один канал свободен, то требование поступает в свободный канал и обслуживается до конца. Обозначим через состояния системы, характеризующиеся тем, что в системе занято ровно k каналов обслуживания. Всего может быть состояние. Пусть вероятность того, что в момент система находится в состоянии , т. е. поступило k требований. Используя формулы Эрланга, которые выражают вероятности всевозможных состояний системы через параметрыи, можно найти основные характеристики эффективности СМО с отказами.