Эконометрика и ЭММ: модели теории массового обслуживания (стр. 5 )

Пример № 2 для самостоятельного решения. Информационно-справочное бюро оптовой региональной базы имеет трех диспетчеров, отвечающих на звонки о наличии товаров в торговых учреждениях. Телефонные аппараты взаимосвязаны, т. е. если звонок поступает, когда все диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Если же в момент поступления заявки хотя бы один диспетчер свободен, то он переключается на свободный канал, т. е. справка выдается. В среднем за одну минуту в информационно-справочное бюро поступает 4 запроса, время обслуживания каждого требования в среднем составляет 1,5 минуты. Определить основные важнейшие характеристики данной системы массового обслуживания, считая все потоки простейшими: 1) интенсивность нагрузки системы; 2) вероятность отсутствия требований в системе; 3) вероятность отказа; 4) относительную пропускную способность; 5) абсолютную пропускную способность системы; 6) среднее число занятых каналов; 7) коэффициент использования каналов; 8) коэффициент простоя каналов; 9) среднее число простаивающих каналов.

Найти решение с учетом дополнительного условия, что данная система должна удовлетворять не менее 90 % заявок, т. е. , а.

Примечание. Необходимо рассчитать требуемое количество диспетчеров, рассматривая ограничение:

Пример № 3 для самостоятельного решения. Специалисты АПК, проходящие стажировку в учебном центре, должны писать дипломную работу с обоснованием инвестиционного проекта на ПЭВМ. В компьютерном классе центра консультирования для выполнения заказов на вычислительные расчеты выделено 3 персональных компьютера. В среднем за каждый час поступает 5 заявок. Среднее время обслуживания каждого работника АПК составляет 30 минут. Если требование на расчеты поступает в момент, когда все 3 оператора ПЭВМ заняты, то слушатель курсов повышения квалификации получает отказ и вынужден обратиться в другой компьютерный класс.

Требуется определить характеристики системы и оценить ее работу.

Пример № 4 для самостоятельного решения. Специализированный магазин овощеводческого тепличного комбината занимается продажей как собственной продукции, так и закупленной по договорам в соседних странах. С целью быстрой реализации скоропортящихся продуктов предприятие принимает заказы покупателей по телефону, для чего организовало мини-АТС с 6 телефонными аппаратами. Порядок обслуживания следующий: если заказ поступает, когда все линии заняты, то покупатель получает отказ. При наличии свободной линии происходит оформление заказа. Поток требований, поступающих на станцию, является простейшим со средним числом 3 заказа в минуту. Длительность оформления заказа является случайной величиной, при этом средняя продолжительность одного разговора равна 1,2 минуты. Необходимо рассчитать основные показатели работы СМО.

Практический интерес представляют те задачи, с помощью которых определяются оптимальные показатели создаваемых СМО.

Задача 3. Предприятие, занимающееся автотранспортным обслуживанием, оборудовало в одном из своих филиалов пункт технической профилактики автомобилей. На данном участке первоначально трудилось двое работников, и статистика показала, что время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону. При этом в среднем в течение смены каждый из механиков успевал провести определенную техническую работу для 10 автомобилей. Так как общее число машин, находящихся в эксплуатации, велико, то они независимо друг от друга в различное время требуют осмотра и профилактического ремонта. Установлено, что в среднем в течение рабочего дня в пункт обращается 20 человек, причем застав служащих занятыми, автотранспортные средства уезжают в другую фирму.

Планово-экономическим отделом рассматривается вопрос о целесообразности дополнительного привлечения механиков с установкой соответствующего оборудования в пункт технического осмотра на следующий месяц (25 рабочих дней). Известно, что стоимость простоя обслуживающего канала (т. е. зарплата персоналу, аренда оборудования и т. д.) составляет в день 30 у. д.е. В то же время каждое необслуженное транспортное средство приносит потери в количестве 50 у. д.е. Необходимо определить оптимальное число работников в предстоящий месяц для рассматриваемой системы массового обслуживания.

Изучаемая система является многоканальной СМО с отказами, где имеются следующие параметры: число каналов (n=2); интенсивность входящего потока (= 20); интенсивность потока обслуживания, или производительность канала . Рассчитаем интенсивность нагрузки системы (): Найдем вероятность того, что система свободна (для n=2), по формуле

Вероятность того, что заявка, поступившая в систему, получит отказ,

Рассчитаем по следующим формулам:

– относительную пропускную способность системы:

= 1 – 0,4 = 0,6;

– абсолютную пропускную способность: = 20 · 0,6 = 12;

– среднее число занятых каналов: = 2 · 0,6 = 1,2;

– среднее число простаивающих каналов: = 2 – 1,2 = = 0,8.

Для СМО с потерями (отказами) необходимо рассчитать функцию потерь (GП) за определенный интервал времени (Т) по формуле

,

где – стоимость единицы времени простоя обслуживающего канала; – величина потерь, связанных с уходом из системы одного требования; – среднее число простаивающих каналов; – вероятность отказа; – интенсивность входящего потока.

При фактическом числе обслуживаемых работников функция издержек GП = (30 · 0,8+50 · 0,4 · 20)25 = 10600. Увеличим число механиков и проведем аналогичные расчеты:

если n = 3, то GП = 6315; если n = 4, то GП = 4018; если n = 5, то GП = 3231; если n = 6, то GП = 3318. Таким образом, для рассматриваемой системы массового обслуживания оптимальное количество работников составляет 5 человек.

1.4. Задачи СМО с очередью (ожиданием)

Рассмотрим более подробно сущность других систем массового обслуживания. Вначале остановимся на изучении одноканальной СМО с ожиданием (очередью).

Постановка подобных задач сводится к тому, что в канал обслуживания поступает простейший поток требований с определенной интенсивностью. Если в момент поступления требования средство обслуживания свободно, то начинается обслуживание. Если же канал занят, то вновь прибывшее требование становится в очередь за теми, которые поступили раньше и еще не начали обслуживаться. Длительность обслуживания представляет случайную величину, распределенную по экспоненциальному закону.

Задача 4. Молочный комбинат открыл несколько торговых точек для продажи продуктов собственного изготовления. Введенный в эксплуатацию фирменный магазин (в соседнем региональном центре) имеет один кассовый аппарат. Установлено, что в течение часа открывшуюся торговую точку посещают 24 человека. Значит, интенсивность входного потока покупателей равна l = 0,4 человека в минуту, причем поток считается простейшим. Среднее время обслуживания покупателя подчинено экспоненциальному закону и составляет 0,5 минуты Определить важнейшие характеристики СМО.

Математической моделью рассматриваемой задачи является одноканальная СМО с ожиданием (очередью). Найдем следующие параметры:

– интенсивность обслуживания: ;

– интенсивность нагрузки системы:

В случае одноканальной системы условие, при котором очередь не возрастает бесконечно, имеет вид: или , т. е., чтобы очередь не росла бесконечно, необходимо, чтобы интенсивность обслуживания была выше интенсивности входящего потока.

Рассчитаем характеристики эффективности СМО при неограниченном входящем потоке:

– вероятность того, что обслуживающий канал свободен,

Этот показатель определяет коэффициент простоя кассового аппарата, т. е. в среднем 80 % рабочего времени продавец не занят обслуживанием покупателей, а остальные 20 % времени занят работой;

– среднее число требований, находящихся в системе,

покупателя продуктов в магазине (в очереди и на обслуживании);