Эконометрика и ЭММ: модели теории массового обслуживания (стр. 7 )

Руководство сервисной организации хочет определить влияние ограниченного количества мест для стоянки автомобилей на потери клиентов, учитывая тот факт, что средняя стоимость диагностики одного автомобиля составляет 60 у. д.е. Зная интенсивность прибытия автомобилей (), долю потерянных автовладельцев (), время работы пункта техосмотра за день (12 часов), найдем количество необслуженных клиентов: 4 ∙ 0,0486 ∙ 12 = 2,33 автомобиля в день. Решение относительно увеличения количества мест для стоянки автомобилей должно основываться с учетом потерь пункта техосмотра (2,33 ∙ 60).

Анализируя ситуацию с другой стороны, отметим, что среднее время пребывания автовладельца в системе часа (примерно 22 минуты), т. е. менее 30 минут, как это было в задаче 5, когда всем прибывающим автомобилям разрешалось встать в очередь. Уменьшение этого показателя (примерно на 8 минут) обеспечено за счет потери около 4,86 % потенциальных клиентов из-за ограниченного количества мест на стоянке автомобилей.

Пример № 6 для самостоятельного решения. Агросервисная организация занимается ремонтом и восстановлением электрических генераторов, которые затем используются в сельскохозяйственных предприятиях. Конечная сборка каждого экземпляра проходит в соответствии с распределением Пуассона (в среднем 9 генераторов в час). После этого электрические генераторы с помощью ленточного конвейера транспортируются в отдел технического контроля для испытаний. На конвейере могут находиться максимум 6 генераторов. Электронный датчик автоматически останавливает конвейер, как только он заполнится. Рабочие сборочного цеха прекращают свою работу до появления свободного места на конвейере. Время проверки электрических генераторов имеет экспоненциальное распределение со средним значением 12 минут.

Определить вероятность того, что сборочный цех прекратит сборку электрогенераторов в условиях рассматриваемой СМО.

Большое распространение в практике АПК имеют также модели систем массового обслуживания с несколькими параллельно работающими средствами обслуживания (каналами).

Рассмотрим постановку задачи, в которой длина очереди не ограничена. Следовательно, заявка, поступившая в СМО в момент, когда все n-каналы заняты, становится в очередь и ожидает своего обслуживания. Любое пришедшее требование будет удовлетворено. Установившийся режим работы системы существует при . Если условие не выполняется (т. е. ), то очередь заявок в системе с течением времени будет неограниченно расти.

К числу показателей функционирования многоканальной СМО с очередью (ее длина не ограничена) относят также:

– предельные вероятности системы:

– вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:

– среднее число занятых каналов:

– среднее число требований, находящихся в очереди (длина очереди):

– среднее число требований, находящихся в системе:

;

– среднюю продолжительность пребывания требования в очереди:

, или ;

– среднюю продолжительность пребывания требования в системе:

.

Задача 7. В цехе по ремонту аккумуляторов числится 5 мастеров. В среднем в течение рабочего дня поступает в ремонт 10 аккумуляторов. Так как общее число данных приборов очень велико, и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя, то можно считать, что поток заявок на ремонт аккумуляторов является случайным (пуассоновским). Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности повреждения, квалификации мастера и других причин. Статистика показывает, что время ремонта подчи­няется экспоненциальному закону, а среднее время, затрачиваемое на ремонт одного аккумулятора в течение семичасового рабочего дня, составляет 2,8 часа. Необходимо оценить функционирование цеха, рассчитав основные характеристики данной системы массового обслуживания (за единицу времени принять 1 день).

Данный цех по ремонту аккумуляторов моделируется пятиканальной СМО (n = 5) с ожиданием без ограничений на длину очереди, для которой ; часа (или 0,4 дня).

Интенсивность потока обслуживания аккумулятора в день и интенсивность нагрузки . Так как , то очередь не может расти безгранично. Вероятность того, что все мастера свободны от ремонта, составляет:

.

Средняя длина очереди аккумулятора, среднее число заявок в системе .

Задача 8. Учебный компьютерный центр для распечатки различных задач, программ, тестов, положений и актов, связанных с информацией о деятельности предприятий АПК, состоит из 6 персональных компьютеров. В среднем в течение рабочего дня от студентов, аспирантов, научных сотрудников поступает 2100 требований в день. Есть все основания полагать, что поток заявок в компьютерный центр является случайным, пуассоновским. В свою очередь, каждая заявка требует различного случайного времени на ее обслуживание, которая зависит от пожелания клиента иметь необходимые данные. Статистика показала, что время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону и составляет 36 секунд на одного посетителя. Необходимо определить основные характеристики данной СМО.

Математической моделью этой задачи является многоканальная система массового обслуживания разомкнутого вида с ожиданием (очередью). За единицу времени примем 1 час и рассмотрим параметры имеющейся модели: общее число каналов обслуживания ; интенсивность входящего потока заявок в час при семичасовой работе в день; среднее время обслуживания секунд, или часа; интенсивность потока обслуживания заявок в час; интенсивность нагрузки ; количество занятых каналов k.

В данной задаче (3<6), значит, предельный режим функционирования существует, а задача имеет решение.

Вероятность того, что в системе нет ни одного требования,

Это означает, что в среднем 4,9 % всего времени работы 6 компьютеров одновременно будут свободны.

Среднее число требований, находящихся в очереди (длина очереди), составляет:

Среднее число занятых каналов Среднее число требований, находящихся в системе, равно сумме среднего количества занятых каналов () и среднего числа требований, находящихся в очереди : посетителя находится в СМО.

Средняя продолжительность пребывания требования в очереди

Средняя продолжительность пребывания требования в системе

Так как число мест в очереди не ограничено, то все требования, поступившие в систему, рано или поздно будут обслужены. Следовательно, , относительная пропускная способность системы = 1, абсолютная пропускная способность

Рассчитаем коэффициенты использования каналов (), простоя каналов (), среднее число простаивающих каналов ():