Эконометрика и ЭММ: модели теории массового обслуживания (стр. 4 )

Задача 1. Информационная служба торгового предприятия дает справки по телефонной линии о наличии фруктов, поступивших по экспорту. В среднем за одну минуту происходит 3 запроса, а средняя продолжительность одного разговора составляет 0,25 минуты. Определить важнейшие характеристики СМО, считая все потоки простейшими. Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, т. е. с пропускной способностью, которой обладала бы система в том случае, если бы каждый запрос обслуживался ровно 0,25 минуты и все запросы следовали бы один за другим без перерыва.

Математической моделью телефонной линии торгового предприятия является одноканальная СМО с отказами. Параметры данной системы следующие: интенсивность входящего потока l = 3; среднее время обслуживания = 0,25; интенсивность потока обслуживания = 4.

Найдем: 1) вероятность отказа запроса

, или 42,9 %.

Вероятность того, что канал занят, составляет 0,43, а вероятность того, что канал свободен, – 0,57. Это связано с тем, что интенсивность входящего потока меньше интенсивности обслуживания (производительности канала). Значит, в установившемся предельном режиме из каждых 100 запросов в среднем 43 получают отказ;

2) относительную пропускную способность СМО

3) абсолютную пропускную способность СМО

.

Число запросов, обслуженных в течение часа, составляет 60А = 103. В этих же условиях номинальная производительность QН = 60 : 0,25 = = 240 запросов в час.

Из расчета следует, что случайный характер поступления телефонных звонков и случайный характер длительности разговоров привели к такой ситуации, что абсолютная пропускная способность (1,713 разговора в минуту) почти в 2,3 раза меньше производительности информационной службы. Что же нужно сделать, чтобы повысить относительную пропускную способность одноканальной СМО? Этого можно добиться либо снижением интенсивности потока запросов l, что по условию невозможно, либо увеличением интенсивности обслуживания , что вряд ли реально, либо увеличением каналов обслуживания n.

Пример № 1 для самостоятельного решения. На телефонную линию фирменного магазина АПК производительностью 0,6 вызова в минуту () и простейшим потоком обслуживания поступает простейший поток заказов покупателей с интенсивностью 0,7 вызова в минуту (). Определить важнейшие характеристики рассматриваемой системы.

Задача 2. Рассмотрим следующую ситуацию. Одна из консультационных фирм предлагает частным предпринимателям свои услуги по правильному ведению экспортно-импортных операций. В фирме постоянно работают 4 консультанта. При этом соблюдается следующее условие: если предприниматель заходит в консультационный отдел, когда все работники заняты, то он сразу уходит в конкурирующую фирму, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в консультационный центр за один час, составляет 6 человек. Среднее время, затрачиваемое консультантом на обслуживание одного предпринимателя, составляет 20 минут. Необходимо определить основные характеристики функционирования СМО.

Математической моделью консультационной фирмы является многоканальная СМО с отказами. Приведем исходные данные задачи к единой системной единице времени (возьмем 1 час) и рассмотрим параметры имеющейся модели: общее число каналов обслуживания ; интенсивность входящего потока l = 6 чел/ч; среднее время обслуживания мин, или 0,33 ч; интенсивность потока обслуживания =3 чел/ч; интенсивность нагрузки системы требования (среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки); количество занятых каналов равно k.

Рассмотрим выражения для вероятностей любых состояний системы, связывая их с количеством требований k (числом занятых каналов). Поскольку система с потерями, то k£, а число всех возможных состояний равно n+1. Предельные вероятности состояний системы (формулы Эрланга) для данной СМО имеют следующий вид:

Используя их, получим значения для вычисления характеристик эффективности СМО с потерями.

Вероятность отсутствия требований в системе (доля времени простоя консультантов фирмы)

Это означает, что в среднем 14,3 % всего времени работы все 4 консультанта одновременно будут свободны.

Иногда для упрощения расчетов составляют таблицу (табл. 1).

Т а б л и ц а 1. Расчеты для четырехканальной СМО с отказами

Значения случайной величины k (число занятых консультантов)	rk	k!		Pk	k×Pk
1	2	3	4	5	6
0	1	1	1	0,143	0
1	2	1	2	0,286	0,286
2	4	2	2	0,286	0,572
3	8	6	1,333	0,191	0,573
4	16	24	0,667	0,095	0,380
И т о г о…	*	*	7	1,001	1,811

Вычисления начинаются с заполнения первых четырех столбцов. Сумма элементов четвертого столбца дает знаменатель выражения для определения Р0 :

Далее находим элементы пятого столбца, умножая на величину Р0 соответствующие данные четвертого столбца. Коэффициенты пятого столбца суммируем для контроля вычислений. Их сумма должна быть равна единице (с допустимыми в пределах точности расчетов отклонениями). После этого заполняем последний столбец рассматриваемой таблицы.

Найдем следующие характеристики данной системы. Далее определим вероятность отказа:

Вероятность того, что клиент получил отказ, равна вероятности того, что все четыре консультанта фирмы заняты, т. е. из таблицы Р4 = = 0,095. Данная величина говорит о том, что из каждых 100 посетителей примерно 10 получат отказ (т. е. 9,5 % потенциальных клиентов уходят из-за ограниченного количества консультантов).

Относительная пропускная способность системы (или вероятность обслуживания требования)

т. е. из 100 обращающихся предпринимателей 90 будут обслужены. Этот показатель меньше 1, потому что часть клиентов попадает в систему, когда все операторы заняты.

Абсолютная пропускная способность составит: обслуживания в час.

Среднее число занятых каналов находим по формуле

, или .

Как видно из табл. 1 (последний столбец), среднее число занятых консультантов составляет 1,811. В самом деле

Дополнительно рассчитаем такие показатели, как коэффициенты использования каналов , простоя каналов , среднее число простаивающих каналов по следующим формулам:

; ; .

Итак, , т. е. в среднем каждый консультант будет занят обслуживанием всего 45,3 % рабочего времени; = 1 – – 0,453 = 0,547; .