Эконометрика и ЭММ: модели теории массового обслуживания (стр. 6 )

– среднее число требований, находящихся в очереди,

или покупателя в очереди за покупками (средняя длина очереди);

– среднее время пребывания требования в очереди (или время ожидания обслуживания)

минуты в среднем покупатель находится в очереди;

– среднее время пребывания требования в системе

или минуты покупатель находится в данной СМО (магазине).

Таким образом, в данной системе массового обслуживания наблюдается незначительное время ожидания в очереди. Однако руководство магазина установило, что в ближайшем будущем в районе расположения торговой точки будет сдан в эксплуатацию жилой дом, что может способствовать притоку покупателей. Низкий уровень обслуживания при наличии конкурентов может привести к потере потенциальных покупателей, а поэтому поставлена задача о возможности установления другого кассового аппарата в магазине, если среднее время ожидания обслуживания превысит 5 минут. Как должна измениться интенсивность входного потока покупателей, чтобы возникла такая необходимость?

Зная, что минут, подставим данные в формулу так как Получим Следовательно, интенсивность входного потока покупателей должна быть человека в минуту, чтобы среднее время ожидания достигло 5 минут. Если средняя скорость входящего потока превысит 1,8, то с учетом заранее установленного качества обслуживания () в магазине необходимо установить второй кассовый аппарат.

Пример № 5 для самостоятельного решения. Коммерческая фирма имеет ларек по сбыту импортных фруктов, где работает один продавец. В результате исследований установлено, что поток покупателей простейший и составляет 0,6 покупателя в минуту. Длительность обслуживания подчиняется экспоненциальному закону и равна 2 минуты. Проанализировать работу ларька в установившемся режиме.

Задача 5. Пункт технического осмотра сервисной организации имеет один бокс для диагностики импортных автомобилей. Водители прибывают в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 4 машины в час и могут ожидать обслуживания на стоянке рядом с центром техосмотра. Время диагностики автомобиля является экспоненциально распределенной случайной величиной и составляет в среднем 10 минут. Необходимо определить: 1) вероятность того, что бокс для диагностики свободен; 2) среднее число автомобилей, находящихся в системе обслуживания; 3) среднее количество автомашин, ожидающих в очереди; 4) среднее время пребывания в очереди; 5) среднее время пребывания автомобиля в центре технического осмотра.

Рассматриваемая система является одноканальной СМО с ожиданием (очередью), для которой ; часа. Рассчитаем интенсивность нагрузки: ·. Найдем вероятность того, что бокс для диагностики автомобилей свободен: . Среднее число автомобилей, находящихся в очереди и на обслуживании, . Среднее количество автомашин, находящихся в очереди на обслуживание, составит: . Среднее время ожидания обслуживания , где – интенсивность обслуживания ( =). Таким образом, часа, т. е. в очереди требуется простоять около 20 минут.

Среднее время пребывания автомобиля в пункте техосмотра (в системе)

минут.

Руководство сервисной организации ведет конкурентную борьбу с другими фирмами, которые оказывают аналогичные услуги. Поэтому поставлена задача: установить количество мест на стоянке автомобилей, при котором по меньшей мере 90 % прибывших автомобилей найдет себе оборудованную стоянку.

При решении обозначим через S искомое количество мест на стоянке. Тогда система имеет емкость S+1 (очередь плюс место в боксе для диагностики). Прибывающий автомобиль в 90 % случаев найдет оборудованное место на стоянке, если в системе находится самое большее S автомобилей. Это условие эквивалентно следующему вероятностному утверждению: (т. е. необходимо найти суммы вероятностей ), где . Значит, 0,33+(1–0,67) ∙ 0,67+(1–0,67) ∙ 0,672+(1–0,67) ∙ 0,673+(1–0,67) ∙ · 0,674 +(1–0,67) ∙ 0,675≥0,9.

Так как сумма вероятностей при n = 5, то поставленное руководством условие выполняется при пяти и более местах на стоянке.

Рассмотрим другую модификацию одноканальной СМО с ожиданием (очередью). Для подобной модели существует предположение, что вместимость системы является ограниченной, т. е. СМО вмещает не более N клиентов. При этом обозначим через m максимальное количество мест в очереди. Следовательно, максимальная вместимость системы . Ситуация в изучаемой модели такова, что как только число клиентов в СМО достигает N, ни одно из дополнительных требований на обслуживание не принимается. Значение такого параметра, как интенсивность нагрузки системы , не обязательно должно быть меньше 1, так как поступления заявок в систему контролируются максимальной емкостью системы N.

Расчет показателей эффективности функционирования одноканальной СМО с очередью (ее длина ограничена) следующий:

– вероятности состояний:

– вероятность отказа: ;

– среднее число требований, находящихся в системе (в очереди и на обслуживании):

– средняя продолжительность пребывания требования в системе:

– средняя продолжительность пребывания требования в очереди:

– среднее число требований, находящихся в очереди (длина очереди):

.

Задача 6. Возьмем информацию предыдущей задачи 5. Пусть пункт технического осмотра имеет четыре специально оборудованных места для стоянки автомобилей (m = 4). Если все места на стоянке заняты, вновь прибывающие автомобили вынуждены искать другую фирму, занимающуюся диагностикой импортных машин. Необходимо определить: 1) вероятность того, что прибывший автомобиль сразу же попадет в бокс для диагностики; 2) вероятность того, что все места на стоянке автомобилей заняты; 3) среднее время ожидания клиентов до начала обслуживания и среднее время пребывания автовладельца в системе; 4) среднее число автомобилей, находящихся в обслуживающей системе, и длину очереди; 5) среднее число свободных мест на стоянке автомобилей.

Найдем вероятность того, что система (пункт техосмотра) свободна:

.

Вероятность отказа .

Среднее число автомобилей в системе

.

Средняя продолжительность пребывания автомобилей в пункте техосмотра часа.

Средняя продолжительность пребывания автоклиента в очереди

часа.

Длина очереди составляет: . Следовательно, среднее число свободных мест на стоянке – 3,2(4–0,8).