Эконометрика и ЭММ: модели теории массового обслуживания (стр. 9 )

Вероятность того, что заявка, поступившая в систему, получит отказ, составляет:

.

Вероятность того, что следующий посетитель будет обслужен в мастерской, т. е. показатель общей производительности Q =1 – 0,05589 = = 0,9441.

Следовательно, доля потерянных заявок составляет 5,6 %, а обслуженных – 94,4 %. Абсолютная пропускная способность

А = 6 ∙ 0,9441 = 5,66.

Среднее число занятых механиков . Таким образом, среднее число незанятых механиков составляет 0,1677 (3–2,8323). Найдем число потерянных потенциальных клиентов на протяжении десятичасового рабочего дня по причине ограниченной емкости мастерской: 6 ∙ 0,05589 ∙ 10 = 3,35.

Рассчитаем среднее количество мотокультиваторов, которые ожидают обслуживания:

механизма.

Таким образом, система обслуживания ремонтной мастерской заслуживает положительной оценки.

Пример № 9 для самостоятельного решения. Фермер с целью дополнительного получения дохода открыл мойку автомобилей и тракторов. Анализ показал, что в среднем за час приезжает 9 технических средств, но если в очереди уже находятся 4 единицы, то вновь подъезжающие клиенты не встают в очередь, а проезжают мимо. Среднее время мойки любого технического средства составляет 20 минут, мест для мойки – 2. Средняя стоимость мойки одной технической единицы составляет 20 у. д.е. Определить среднюю величину потерь выручки фермера при работе мойки 10 часов в день.

Рассмотрим замкнутые СМО (когда источник находится в самой системе). Их еще называют системами с ограниченным потоком требований, или с ограниченным числом источников требований.

Алгоритм функционирования СМО с ожиданием при ограниченном входящем потоке следующий. Система состоит из n каналов обслуживания, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование. Поток поступающих требований ограничен. В СМО не может находиться более m требований. Очередь может возникнуть тогда, когда число каналов меньше наибольшего числа требований, находящихся одновременно в обслуживающей системе, т. е. n<m.

К числу показателей замкнутых СМО относят:

– вероятность того, что в системе находится k требований при условии, что их число не превосходит число обслуживающих каналов:

;

– вероятность того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих каналов:

;

– вероятность того, что в системе нет ни одного требования (все обслуживающие каналы свободны):

;

– среднее число требований, находящихся в очереди (длина очереди):

или ;

– среднее число требований, находящихся в системе:

;

– среднее число простаивающих каналов (свободных от обслуживания):

или ;

– коэффициент простоя требования:

;

– коэффициент простоя обслуживающего канала:

.

Задача 11. Комбинат поставляет группу однородных товаров согласно заключенным договорам потребителям агропромышленного комплекса. Процесс выпуска изделий происходит в цехе, который насчитывает 8 станков. Их обслуживанием заняты 2 мастера. Поток поступающих требований на обслуживание станков составляет в среднем 4 единицы в час. Обслуживание одного автомата занимает у мастера 3 минуты. Необходимо определить важнейшие характеристики СМО.

Математической моделью рассматриваемой задачи является многоканальная СМО с ожиданием (очередью) при ограниченном потоке требований. Общее число не может превзойти число станков. Предполагаем: входящий поток требований на обслуживание станков простейший, время обслуживания подчинено экспоненциальному закону.

Рассмотрим параметры:

– общее число каналов обслуживания: ;

– общее число требований: m = 8;

– интенсивность входящего потока: l = 4;

– среднее время обслуживания: минуты, или 0,05 часа;

– интенсивность потока обслуживания: ;

– интенсивность нагрузки:

Приведем расчеты в табл. 2.

Т а б л и ц а 2. Расчеты для двухканальной СМО с очередью при ограниченном входящем потоке

k		Pk	(k–n)× Pk	k × Pk	(n–k)× Pk
1	2	3	4	5	6
0	1	0,2036	–	0	0,4072
1	1,600	0,3258	–	0,3258	0,3258
2	1,120	0,2280	–	0,4560	–
3	0,672	0,1368	0,1368	0,4104	–
4	0,336	0,0684	0,1368	0,2736	–
5	0,134	0,0273	0,0819	0,1365	–
6	0,040	0,0081	0,0324	0,0486	–
7	0,080	0,0016	0,0080	0,0112	–
8	0,001	0,0002	0,0012	0,0016	–
	4,911	0,9998	0,3951	1,6637	0,7330

Во втором столбце таблицы значения вычисляются по следующим формулам:

при = 1,2; при

Учитывая, что получаем

Следовательно, это говорит о том, что 2 мастера одновременно свободны 20,36 % рабочего времени.

Умножая величины второй колонки таблицы на найденное значение , получаем третью колонку. Далее найдем:

– среднее число требований, находящихся в очереди (длина очереди):

Суммируя четвертую колонку таблицы, получаем Следовательно, в среднем из 8 станков 0,4 станка будет простаивать в ожидании, пока освободится кто-нибудь из мастеров;

– среднее число требований, находящихся в системе:

т. е. в среднем 1,7 станка будет простаивать (во время обслуживания и ожидания этого процесса);

– среднее число простаивающих каналов (свободных от обслуживания):

– коэффициент простоя требования: .

Значит, каждый станок простаивает в среднем 0,05 части рабочего времени в ожидании, пока мастера освободятся;

– коэффициент простоя обслуживающего канала:

т. е. в среднем каждый мастер простаивает 36,7 % своего рабочего времени.

Пример № 10 для самостоятельного решения. Завод сельскохозяйственного машиностроения закупил за рубежом в один из своих цехов семь импортных автоматических станков, которые обслуживают два оператора. После того как каждый станок завершает выполнение пакета программ, оператор должен его перенастроить на выполнение нового пакета. Поток поступающих требований на обслуживание станков пуассоновский и составляет 2 автомата в час. Время настройки описывается экспоненциальным распределением, занимая в среднем 12 минут.

Требуется определить важнейшие характеристики данной системы массового обслуживания.