Эконометрика и ЭММ: модели теории массового обслуживания (стр. 8 )

Пример № 7 для самостоятельного решения. На складе агромашсервиса работают 4 кладовщика, которые заняты отпуском запасных частей и деталей для сельскохозяйственных товаропроизводителей. В среднем в течение одного часа поступает 2 заявки (поток покупателей имеет пуассоновское распределение). Время обслуживания имеет экспоненциальное распределение со средним значением 1,5 часа на одно требование. Определить показатели работы данной СМО.

Пример № 8 для самостоятельного решения. Райагросервисная организация имеет участок контроля, который состоит из 5 испытательных стендов. Отремонтированные изделия поступают на контроль с интенсивностью 600 шт. в час. Среднее время, затрачиваемое на контроль одного изделия, равно 18 секунд. Так как процесс производства в райагросервисной организации непрерывный, то при малом числе стендов на контроле может ско­питься неограниченное число изделий. Поэтому данную СМО можно отнести к числу систем с ожиданием (с неограниченным входящим потоком требований), т. е. длина очереди не ограничена. При этом необходимо считать, что входящий поток требований является простей­шим, а время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону. Определить важнейшие характеристики данной СМО.

Задача 9. На базе райагроснаба производится разгрузка автомобилей, прибывающих с разными товарами от оптовых поставщиков. Автофургоны прибывают в случайные моменты времени. Каждый из них подходит к разгрузке в среднем через 2 часа, т. е. интенсивность поступления товаров от поставщиков примерно одинаковая. Руково­дство райагроснаба установило 12-часовой режим работы, так что суммарно на разгрузку прибывает поток автомобилей с интенсивностью 6 единиц в день. Обслуживание осуществляется автокарами, которые в среднем за день могут осуществить работу по разгрузке 4 автофургонов. Процесс деятельности базы состоит в том, что прибыв­ший автофургон либо разгружается немедленно любым из свободных автокаров, либо ожидает освобождения одного из них.

Между поставщиками товаров и райагроснабом существует дого­вор, один из пунктов которого требует своевременного обслуживания прибывающих автофургонов. В случае простоя в очереди агросервисная организация должна уплатить штраф в размере 25 у. д.е. за 1 авто­мобиль в день. Вместе с тем автокары для разгрузки автофургонов данной партии товаров база арендует, а стоимость простоя одного об­служивающего канала (автокара) составляет в день 15 у. д.е. Необходимо определить оптимальное число единиц техники по разгрузке товаров.

Изучаемая система является многоканальной СМО с ожиданием без ограничений на длину очереди и неизвестным числом обслуживающих устройств. При этом известны интенсивность входящего потока (= 6), интенсивность потока обслуживания, или производительность канала (). Рассчитаем интенсивность нагрузки системы . Данный показатель обозначает приведенную плотность потока заявок: .

Для того чтобы данная система справлялась с процессом обслуживания всех поступающих автофургонов, должно выполняться условие стационарности: . Следовательно, число каналов обслуживания должно быть не менее двух. Найдем вероятность того, что система свободна (для n=2):

= = 0,143.

Далее рассчитаем:

– среднее число требований, находящихся в очереди (длина очереди):

= 1,931;

– среднее число занятых каналов: = 1,5;

– среднее число простаивающих каналов: = 2–1,5 = = 0,5.

Для СМО с ожиданием (очередью) необходимо рассчитать функцию потерь за определенный интервал времени Т по формуле

,

где – стоимость единицы времени простоя обслуживающего канала; – среднее число простаивающих каналов; – стоимость потерь за единицу времени, связанных с ожиданием требования в очереди; – средняя длина очереди, т. е. среднее количество требований, ожидающих начала обслуживания.

При двух автокарах функция издержек GП = 25 · 1,93+15 · 0,5 = = 55,75. При количестве погрузчиков GП = 28,5 у. д.е., а при 4 GП = 38,5 у. д.е. Таким образом, минимальные суммарные потери данной системы будут при работе трех погрузчиков, количество которых является оптимальным.

Следовательно, модели массового обслуживания в сочетании с экономическими методами постановки задач позволяют проводить анализ существующих СМО, разрабатывать рекомендации по их реорганизации для повышения эффективности работы, а также определять оптимальные показатели вновь создаваемых систем.

Рассмотрим систему массового обслуживания с несколькими параллельно работающими средствами обслуживания (каналами), в которой длина очереди ограничена. Эта модель обслуживающей системы отличается от предыдущей тем, что емкость СМО ограничена сверху значением т+п (количество мест в очереди ограничено, а максимальная ее длина равна т). Следовательно, если число требований в очереди равно m, то заявка покидает систему необслуженной.

К числу показателей функционирования многоканальной СМО с очередью (длина очереди ограничена) относят:

– предельные вероятности системы:

;

– вероятность отказа: ;

– относительную пропускную способность (вероятность того, что поступившее в систему требование будет принято к обслуживанию):

;

– абсолютную пропускную способность: ;

– среднее число занятых каналов: ;

– среднее число требований, находящихся в очереди (длина очереди):

, ,

;

– среднее число требований, находящихся в системе: ;

– среднюю продолжительность пребывания в системе:

;

– среднюю продолжительность пребывания требования в очереди:

или .

Задача 10. Райагросервисная организация открыла небольшую ремонтную мастерскую. Три механика занимаются техническим обслуживанием мотокультиваторов, которые сдают в мастерскую люди, занимающиеся личным подсобным хозяйством. Мастерская функционирует в зимний период, для того чтобы подготовить к весенней кампании те технические средства, что приносят клиенты. Однако ограниченная емкость мастерской позво­ляет разместить для техобслуживания не более 15 мотокультиваторов, не учитывая тех, которые уже находятся у механиков. Поэтому, если очередной посетитель приходит в то время, когда все механизмы ожидают обслуживания, он уходит. Население прибывает в мастерскую в среднем каждые 10 минут, а на выполнение механиком одного обслуживания уходит примерно 30 минут. Клиенты заходят в соответствии с распределением Пуассона, а время выполнения работы подчиняется экспоненциальному распределению. Рассчитать основные характеристики данной СМО.

Рассматриваемая система является многоканальной СМО с ограниченной длиной очереди, для которой n = 3; m = 15; посетителей в час; часа.

Найдем интенсивность нагрузки: . Так как нагрузка на один канал , то вероятность того, что система свободна, равна:

.