Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине математика (стр. 5 )

Проведенные для данной задачи расчеты удобно оформить в виде таблицы:
Распределение вероятностей д. с.в. X º k (n = 8; p = ; q = )

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	Сумма
	1	8	28	56	70	56	28	8	1
Pn(k)	0,0541	0,1904	0,2932	0,258	0,1419	0,05	0,011	0,0013	0,0001	1

Полигон (многоугольник) распределения вероятностей дискретной случайной величины Xпредставлен на рис.:

Полигон распределения вероятностей д. с.в. X=k.
Вертикальной линией показано математическое ожидание распределения M(X).

Найдем числовые характеристики распределения вероятностей д. с.в. X. Мода распределения равна 2 (здесь P8(2) = 0,2932 максимально). Математическое ожидание по определению равно:
M(X) =  = 2,4444,
где xk = k – значение, принимаемое д. с.в. X. Дисперсию D(X) распределения найдем по формуле:
D(X) =  = 4,8097.
Среднее квадратическое отклонение (СКО):
s(X) =  = 2,1931.

Задание №2.Решить задачу.

Дискретная случайная величинаX задана законом распределения 

X	1	4	8
Р	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

Решение.

 Если , то (третье свойство). Если , то . Действительно, X может принять значение 1 с вероятностью 0,3.
Если , то . Действительно, если  удовлетворяет неравенству , то  равно вероятности события , которое может быть осуществлено, когда X примет значение 1 (вероятность этого события равна 0,3) или значение 4 (вероятность этого события равна 0,1). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события  равна сумме вероятностей 0,3 + 0,1=0,4. Если , то . Действительно, событие  достоверно, следовательно, его вероятность равна единице. Итак, функция  распределения аналитически может быть записана так:

График этой функции:

Задание №3. Решить задачу.

В магазине куплено 3 электроприбора: чайник, утюг и пылесос. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока для каждого из них соответственно равны   . Составить закон распределения случайной величины X – числа приборов, вышедших из строя в течение гарантийного срока.

Решение. X – число приборов, вышедших из строя, имеет следующие возможные значения: 
 - все три прибора не выйдут из строя в течении гарантийного срока; 
 - один прибор выйдет из строя; 
 - два прибора выйдут из строя; 
 - три прибора выйдут из строя. 
Найдем соответствующие этим значениям вероятности. По условию, вероятности выхода из строя приборов равны: тогда вероятности того, что приборы будут рабочими в течение гарантийного срока равны:


Закон распределения имеет вид:

	0	1	2	3
	0,684	0,283	0,032	0,001

Проверка: 

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание №1.Решить задачу.

№1. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

№2. Найти дисперсию случайных величин, зная закон её распределения:

X	0,1	2	10	20
Р	0,4	0,2	0,15	0,25

№3. Испытывается устройство, состоящее из трёх независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: р1 = 0,4, р2 — 0,5, р3 - 0,6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа отказавших приборов.

№4. Построить график функции распределения дискретной случайной величины X заданной таблицей:

X	2	6	10
P	0,3	0,6	0,1

Задача №5. В магазине имеется 15 автомобилей определенной марки. Среди них 7 черного цвета, 6 серого и 2 белого. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки, безразлично какого цвета. Составьте ряд распределения числа проданных автомобилей черного цвета при условии, что автомобили отбирались случайно.