Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине математика (стр. 6 )

Задача №6. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 20%. Составьте ряд распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года. 

ПРОВЕРКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ОЦЕНКА ИНДИВИДУАЛЬНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ

1. проверка результатов решения задач по готовым ответам;

2. проверка результатов по действиям

КОНСУЛЬТАЦИЯ ПО ТЕМЕ

1.  Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, неизвестное заранее какое именно.

Будем обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z,и их возможные значения - соответствующими строчным буквами - х, у, z.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, возможные значения с определенной вероятностью. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Пример.

1).Число появлений герба при трех бросаниях монеты: возможно 0; 1; 2; 3

2).Число самолетов, сбитых в воздушном бою: 0; 1; 2;….. N,где N-общее число самолетов.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Пример.

1) Абсцисса точки попадания при выстреле.

2) Время безотказной работы лампы.

2.  Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

 Дискретные случайные величины 

xi - значения величины X,

 Математическое ожидание: 

 Свойства:

 1) M(C) = C, C - постоянная;

 2) M(CX) = CM(X);

 3) M(X1 + X2) = M(X1) + M(X2), где X1, X2 - независимые случайные величины;

 4) M(X1X2) = M(X1)M(X2).
 Дисперсия: 

 Свойства:

 1) D(C) = 0;

 2) D(CX) = C2D(X);

 3) D(X1 + X2) = D(X1) + D(X2), где X1, X2 - независимые случайные величины.
  Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х: 

Способы задания: таблично, аналитически, графически.

X			…
P			…

– вероятность возможных значений

- возможные значения

События x1 , х2, …, хп - образуют полную группу, т. е. р1 + р2 + ... + рп= 1). Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины X.

2). Графическое изображение.

Для наглядности точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения.

3.  условные характеристики дискретных случайных величин

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

X			…	Хn
P			…	Рn

Тогда математическое ожидание М(Х)определяется равенством

М(Х)= х1р1 + Х2Р2 + • • • + ХnPn.

4.  Дисперсия дискретной, случайной величины

Для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг её математического ожидания, пользуются числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(X) = M[(x-M(X))2].

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом её математического ожидания:

D(X) = М(Х2) - (М(Х))2.

5.  Среднее квадратическое отклонение

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии Ơ(x)=

размерность Ơ(Х) совпадает с размерностью X.

6.  Определение функции распределения

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньше х, т. е.

F(x) = Р(Х <x).

Геометрически: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Иногда вместо термина "Функция распределения" используют термин "Интегральная функция".

Случайную величину называют непрерывной, если её функция распределения есть непрерывная, кусочно - дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Свойства функции распределения

1) Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:

0≤F(x)≤1.

2)F(x)- неубывающая функция, т. е. F() ≥F(),если >.

3)Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключённое в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Р(а ≤Х<b)= F(b) – F(a).

4)Вероятность того, что непрерывная, случайная величина X примет одно определённое значение, равна нулю. Тем самым имеет смысл рассматривать вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал, пусть даже сколько угодно малый.

5)Если возможное значение случайной величины X принадлежит интервалу (а, b) ,то:

F(x) = 0, при х ≤ а;

F(x) = 1, при х ≥b.