Тема 6. Геометрия земного эллипсоида (стр. 3 )

Все задачи решаются вне зависимости от длины геодезической линии с высокой точностью. Так широты и долготы вычисляют с точностью 0,0001'', азимуты – 0,001''.

Длина S должна быть задана с точностью до 1 мм.

Вопрос 4.

Прямая геодезическая задача

Можно записать, что B2=B1+ΔB=B1+(B2-B1)=B1+b

L2=L1+ΔL=L1+(L2-L1)=L1+l

А21= А12±180°+α.

Необходимо найти b, l, α.

Можно отметить, что увеличение широты, долготы и азимута осуществляется с увеличением длины геодезической линии.

Если знать значение приращения одной из координат в зависимости от длины геодезической линии или производные , то в соответствии с разложением в ряд Тейлора можно записать

- производная широта по S i-того порядка.

Аналогичные выражения запишем для долгот и азимута

.

Исходя из этого чертежа, установили зависимость между дифференциалами

dB=dScosA,

dL=dSsinA.

Установим зависимость между dS и dА.

Очевидно, что дугу dB можно вычислить дважды

dB= dL=dSsinA,

а второй раз dА, задаваясь радиусом первого вертикала N (радиусом эллипсоида в точке DB).

DB=N·dA.

Мы знаем, что N можно выразить через радиус параллели.

Очевидно

.

Но такая запись в дальнейших преобразованиях неудобна.

Таким образом

.

Очевидно

,

,

Для определения выразим dB через дугу, приращение широты и радиус меридиана.

ED=dS·cosA

ED=M·dB,

где М – радиус кривизны.

MdB=dScosA

DB=dL=dSsinA

Поскольку dL есть приращение долготы, то его удобно вычислить через радиус параллели

Сведем эти производные вместе

Для того чтобы можно дифференцировать значение H и r выразим через широту.

Поскольку ,

где

Все производные зависят от 2-х аргументов B и А.

Очевидно, что последующие производные необходимо брать по двум аргументам В и А. посмотрим на примере

.

На основе этого примера можно составить рекуррентные формулы взятия производных, а именно

.

Остальные значения определяются также, только вместо берется и .

Полученные производные подставляют в суммы для вычисления b, l и α. И этим решается прямая геодезическая задача.

Вопрос 5.

Решение обратной геодезической задачи со средними аргументами неразрывно связано с решением прямой геодезической задачей со средними аргументами. Такое решение называется решением способом Гаусса..

Пусть известна точка D с координатами B;L;A12 , дана длинна геодезической линии DQ – S. Необходимо определить координаты точки Q B2; L2; A21. Решение.

По Гауссу выбирается строго по середине геодезической линии DQ и условно вводятся координаты этой точки Bm; Lm; Am.

Записываем выражение разности широт B1 – Bm, B2 – Bm. Аналогично предыдущему случаю будем записывать B1 – Bm*. Поскольку значение B1 меньше чем значение Bm то перед первой производной ставится знак минус.

Из этих выражений найдем величину B2 = B1+(B2-B1) очевидно что

Особенность данной формулы является то, что производные берутся в точке М. Для вычисления производных берутся широта, долгота и азимут геодезической линии в точке М. Но в реальности мы не можем это сделать, т. к координаты точки М неизвестны.

Гауссом предложено вместо координат точки М брать среднее координат точки D и Q.; ;.

Но эти формулы тоже не известны, следовательно задачу решают методом приближений. В нулевом приближении задаются грубыми координатами точки Q (B20, L20, A21) с точностью до 1°. Выполняют первое приближение и вычисляют первое приближение B2, L2, A21. Во втором приближении подставляют эти значения, в третьем значения со второго приближения и т. д. Приближения повторяются до тех пор, пока результат предыдущего и последнего приближения не будут одинаковыми.

Замечание: в выражении производные даны в точке M, а их выражения необходимы в точке В с координатами B, L, A. Эта точка находится на каком-то расстоянии от M до M`. Расстояние между точками M` и M в координатах будет B – Bm, L – Lm, A – Am, поэтому функцию разлаживаем в ряд Тэйлора.

Поскольку рассмотренное произведение широты по расстоянию, то она будет зависеть от самой широты. Азимута и геодезической линии. Тогда разложение вряд Тэйлора будет иметь вид:

Тогда можно записать

Но для вычисления самого необходимо знать Bm-B, Am-A.

Найдем Bm-B исходя из записанных разностей широт относительно точки М. Чтобы найти Bm-B нужно и вычеслить его присвоив ему знак минус. . Тогда окончательно для B2-B1 можно записать следовательно ; и т. д.

Аналогичное приближение по L и A:

Вопрос 6.

Способ Шрейдора.

Дано B1, L1,A1,S.

Найти B2,L2,A.

Решение.

Берется вспомогательная точка на меридиане, делается прямое сечение из точки С в точку Q, таким образом чтобы с точки С углы были прямые.

Тогда Шрэйдором было предложено вычислить координаты точки С относительно точки D, а потом относительно точки С вычеслить координату точки Q.

В основу решения положены известные формулы:

Прежде чем приступить к алгоритму решения сделаем некоторые общие земечания:

Обозначим дугу DC – х, CQ – y. Эти дуги нужны для того чтобы вычислить координаты точек C и Q.

Решение будет на основании треугольника DCQ. Запишем теорему синусов.

x, y,s – геодезические линии.

Угол β находится из треугольника.

Можем записать что

В дальнейших выводах будем полагать что .

Для упрощения выражений разложим cos и sin разности углов через разность произведений.

Дальнейшее решение можно проводить при этих значениях x и y. Переход к координатам точки С.