Тема 6. Геометрия земного эллипсоида (стр. 5 )

В учебниках по высшей геодезии находят

По условию Бесселя можно прнять dA=dα, тогда

Тогда .

Без вывода запишем ; U=φ по условию Бесселя.

dL= - dL =

Вопрос 11.

Численный метод решения прямых геодезических задач

Из предыдущего материала нами были выведены формулы зависимости приращений широт от приращений длинны геодезической линии, другими словами, были установлены значения производных

;;.

Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями 1 порядка. Для них можно записать общий вид:

Настоящее дифференциальное уравнение решается любым известным в математике методом. В данном случае мы рассмотрим решение методом Рунге-Кутта.

В данном методе ось x разбивается на интервалы с шагом h. Приближённый вариант решения будет следующий:

В нашем случае

Очевидно тогда, если h принять равным S, то

По этой формуле вычислим приближённое значение широты

Данное решение является приближённым, т. к. мы ограничились производной первой степени

Однако решение можно уточнить как точно но для этого необходимо использовать разложение функции в ряд Тейлора до как угодно большой степени

Если записать , то разложение в ряд Тейлора даст

Рассмотрим разложение в ряд Тейлора до второй степени, для обобщения будем считать, что y0 известно, необходимо найти

Поскольку

Поскольку dφ/dx=f(y). Тогда согласно Рунге-Кутта можно записать .

Очевидно, что

.

Тогда запишем

.

Теперь запишем это выражение в приращениях, а не в дифференциалах.

.

Очевидно что

.

В качестве возьмем =f(y0)*h, следовательно

или .

Введем обозначения ; .

После сокращения на h и принятых обозначений запишем

.

Если дoпустим в данном выражении y1 = y0, следовательно

Выражение Рунте-Кутта для вычисления функций при решении данного дифференциального уравнения с разложением в ряд Тэйлора до второй степени. Аналогичный метод можно применить для разложений по третей, четвертой и выше степеням. Без вывода приводим запись Рунге-Кутта для вычисления функций при решении дифференциальных уравнений с разложением до пятой степени.

где

В этом выражении в вычислении функции принимают участие элементы K1, K4, K5, которые равны следующим значениям:

Вернёмся к нашей задаче. В ней роль y0 выполняет широта точки 1, B1

В учебниках

Для широты

Тогда

Обратим внимание на одно обстоятельство, вдоль геодезической линии измеряется не только широта, но и азимут, поэтому Мерсоном было предложено вычисление коэффициентов вести зависимости от B и A, тогда

h=s

где

Аналогично вычисляются долготы

На основе общей формулы

Аналогично делается вычисления по долготе и азимуту, только выражение для азимута будет

Метод Рунге - Кутта был предложен в 1900 году немецкими геодезистами Рунге и Куттом, а теоретическое применение его к вычислению геодезических координат нашло только в 60-х годах ХХ века, к этому времени уже во всех странах геодезические работы были выполнены и не было необходимости вычисления данным методом, тем более он требовал применение электронных вычислительных машин. Поэтому данных о точности этого метода нет.

Известно, что если ограничиваться рядом Тейлора 5 степени, то данный метод даёт такую же точность на расстоянии 50 км, как и способ Гаусса