Тема 6. Геометрия земного эллипсоида (стр. 4 )

1.Найдем разность широт точки С и точки D. В данном случае S=x, A2=A1 следовательно

Далее алгоритм вычислений соответствует выше описанному, а именно значение b вычисленного по формуле.

Lc=L1, A = 0.

2. Вычисление координат точки Q относительно точки С.

S=y, ACQ=90°.

Снова используем для вычисления известные величины l, b,α.

Особенностью вычислений l, b,α заключается в значении производных . Поскольку А=0, то .

Дуга в точке Q параллельна меридиану DP – называется параллелью этого меридиана.

Вопрос 7.

Из всех способов решения обратной геодезической задачи самой распространенной является способ Щрейбера.

Даны координаты B1, L1; B2, L2. Необходимо вычислить длину геодезической линии и азимута A1 и А2.

В основу решения положена формула b, l, α. В каждой этой формуле присутствуют значения S только в различной степени. Левая часть b известна. Покажем это на примере разности широт.

Левая часть известна. Можно найти производные , и т. д и решить настоящее уравнение. Значение производной берется в точке . Если ограничится разложением до второй степени. Можно решить уравнение второго порядка и найти производные S. Если ограничить уравнение n-й степени, то необходимо решить уравнение n-й степени и найти S.

Приближенность решения определяется тем, что производная в данном ряде в точке В, поэтому данный способ пригоден лишь для малых расстояний, не больше 40 км. Точность определения длинны составляет порядка

0,008 мм *40 000 000мм/206 000 = 1,5 – точность определения длинны. Где 0,008 – ошибка определения азимута.

Для вычисления азимутов можно использовать дифференциальные формулы: , ,. , .

Очевидно, что разделив можно найти

Чтобы получилась замкнутая формула снова необходимо воспользоваться рядами

Производные берутся в начальной точки.

Вопрос 8.

Этот способ предназначен для решения на любые расстояния. В начале решается прямая и обратная задачи на шаре, чтобы при введение поправок получилось решение на сфероиде.

Решение главной геодезической задачи на шаре.

Дано: φ1, σ, λ1, α1.

Найти: φ2, λ2, α2.

Решение:

Для вычисления широты φ2 записывается формула косинуса стороны сферического треугольника Q1PQ2. Для этого используется теория геометрии на сфере.

В правой части все параметры известны. Чтобы найти долготу λ2= λ1+λ.

Для вычисления разности долгот записывают 2 теории.

1.  Теорема синусов по элементам λ, σ, α, (90°-φ2)

2.  Теорема пяти элементов (90°-φ2), λ, α1, (90°-φ1), σ.

Теорема синусов.

Теорема пяти элементов.

Если выражение из теоремы синусов разделить на формулу пяти элементов.

Модуль второй части находится тоже из двух формул.

1.  Формула синусов относительно элементов: α2, (90°-φ1), σ1, (90°-φ2).

2.  Формула пяти элементов относительно: (90°-φ2), α2, σ, α1, (90°-φ1).

Формула синусов.

Формула пяти элементов.

Разделить выражение формулы синусов на формулу пяти элементов.

Обратная геодезическая задача на шаре.

Дано φ1 λ1, φ2 λ2.

Найти α1 α2 σ

Решение.

Для решения задачи тоже используют формулы сферической тригонометрии. Для вычисления угла α записываем снова 2 формулы.

1.  Теорема синусов относительных элементов λ2 σ α1 (90°-φ2)

2.  Формула пяти элементов: σ α1 (90°-φ2) (90°-φ1) λ

Теорема синусов.

Формула пяти элементов.

Разделив эти формулы получим:

Для вычисления α2 запишем:

1.  Теорему синусов: α2 (90°-φ2) λ σ

2.  Формула пяти элементов σ α2 (90°-φ1) (90°-φ2) λ

Теорема синусов.

Формула пяти элементов.

Разделив второе уравнение выравнивания на первое получим.

σ можно вычеслить из любой формулы.

Вопрос 9.

В способе Бесселя переход на эллипсоид осуществляется при следующих предположениях.

1.  σ =S где σ – дуга большого круга на шаре

S – геодезическая линия

Т. е когда решают прямую геодезическую задачу на шаре, то берут σ измеренное на эллипсоиде.

2. Широты на шаре (φ) принимаются равными приведенным широтам на эллипсоиде.

Исходные данные B1 L1 , то по формулам связи приведенных широт и геодезических вычисляют элемент.

или . Полагаем что φ1 = U1.

2.  Азимут линии на шаре равен азимуту на эллипсоиде, т. е B1 L1 A1 – исходные данные. α1 = А1 Таким образом если даны B1 L1 A1 S, то от В переходим к , следовательно φ1 = U1, α1 = А1, σ =S и приступает к решению задач на сфере. При этих предположениях из некоторых формул пяти элементов уже можно найти некоторые решения на эллипсоиде.

Так записывая теорему косинусов для элемента

И учитывается предположение Бесселя найдем решение для широты

Вторым элементом который можно легко получить прямым путем является азимут А2. Для этого записываем формулу tgα2 при решении прямой геодезической задачи на шаре.

Исходя из постановления геодезической задачи надо найти L2 = L1 + l.

На шаре находим λ, следовательно нужно l выразить через λ. Эта задача решается с помощью дифференциальных уравнений способа Бесселя.

Вопрос 10.

l=f(λ). Необходимо вырезать dL=f(dx). Необходимо выразить дифференциалы долготы на шаре. Попутно найдем все дифференциалы и выразим дифференциалы всех элементов на эллипсоиде через диференциалы элементов на шаре.

Другими словами задача заключается в установлении зависимости .

Запишем дифференциальные уравнения для эллипсоида:

dx=dS*cosA; dy = dS*sinA. В этих уравнениях нет еще дифференциалов широт и долгот, они появятся в следующих формулах: dx=MdB; dy=rdL. Приравняв правые и левые равенства в результате получится MdB=dScosA; rdL=dSsinA, следовательно . здесь М - радиус меридиана в точке на отрезке, r – радиус параллели, которую выражают через радиус первого вертикала. r = NcosB. Следовательно .

Без вывода известно что dA=dLsinB, dB =.

Запишем дифференциалы на шаре по аналогии с эллипсоидом.

dφ; dλ; dα

dφ = cosα*dσ; dλ = ; dα=sinσ*tgφ*dσ.

Решим главную геодезическую задачу (выразим dL через dλ)