Тема 6. Геометрия земного эллипсоида (стр. 1 )

Тема 6. Геометрия земного эллипсоида.

1.  Земной эллипсоид.

1.2  Методы определения его параметров.

2.  Исходные геодезические даты.

3.  Системы координат на поверхности земного эллипсоида.

4.  Линейный элемент поверхности.

5.  Дифференциалы и длины дуг меридианов и параллелей.

6.  Площадь сферической трапеции.

7.  Уравнение геодезической линии на поверхности эллипсоида.

Вопрос 1.

Поскольку земной эллипсоид является поверхностью относительной, на которой решаются задачи по определению координат точек из которого точки и линии проецируются на плоскость, то необходимо задать (округлить) параметры земного эллипсоида.

Земной эллипсоид образуется вращением эллипса вокруг его малой оси. Другими словами эллипсоид называется сфероидом.

Эллипсоид определяется параметрами:

1.  Большой полуосью a и малой b

2.  – сжатие

3.  Параметрами a и эксцентриситет e

или

Вопрос 1.2.

Для решения всех геодезических задач необходимо подобрать такие параметры, при которых эллипсоид наилучшим образом описывает фигуру реальной земли.

Существуют следующие методы определения параметра:

·  Геологический

·  Физический

Геологический – заключается в измерении двух меридианов. Из сравнении этих измерений можно определить параметры. Такой метод называется методом дуг.

Вторым геологическим методом является метод площадей. В этом методе определяются астрономические координаты пунктов геодезической сети расположенных на большой территории. Далее задается приближение параметрами земного эллипсоида а0, α0. По этим параметрам определяем геодезические координаты (В0 и L0) пунктов этой сети.

В результате обработки этих данных надо получить поправку в эллипсоиде δа, δα, δB, δL. Поправки в координаты пункты будет столько каким является двойным числом пунктов. Чтобы упростить и решить коррекцию задачи поправки δВi и δLi выражают через поправки в исходных пунктов δВi и δLi, δAi, где Ai – азимут на исходном пункте. В результате будет только 5 неизвестных: δВi, δLi, δAi, δa, δα.

Физический метод округления параметров – он заключен в измерении силы тяжести на пунктах геодезической сети. По расхождениям значений силы тяжести можно так же определить параметры земного эллипсоида. Например, сила тяжести на полосе и на экваторе различаются сильно между собой. Можно по разности таких измерений определить схожесть.

Геометрический метод развивается дополнением GPS измерений. На больших расстояниях 600 и больше измерений приращения координат между пунктами. Их тоже можно использовать для определения параметров земного эллипсоида.

Вопрос 2.

Под исходными геодезическими датами понимаем значение:

1.  2х параметров земного эллипсоида

2.  Координат исходными пункта на эллипсоиде, а именно геодезической широты и геодезической долготы и азимута, которым равны астрономические координаты. Таким образом названные астрономических координат определяют ориентировку эллипсоида в теле земли.

Вопрос 3.

Вообще раздел геодезия в котором решаются задачи на поверхности земного эллипсоида называется сфероидоической геодезией. Все задачи необходимо решать в определенной системе координат.

Различают следующие системы координат:

1.  Прямоугольная геоцентричная система координат. В ней ось X направлена в пересечение экватора и меридиана Гринвича. Ось Z совподает с осью вращения земли. Начало в центре масс земли. Ось Y дополняет систему правой.

2.  Прямоугольная топоцентрическая. Ось Z направлена в зенит по нормали, X – на север, Y – дополняет систему до правой на восток.

3.  Геодезическая. Положение точки в геодезической системе координат определяется геодезической широтой В (угол между нормалью и плоскостью экватора) и долготой L и геодезической высотой H.

4.  Геоцентрическая угловая. Положение точки А определяется: Ф – геоцентрической широтой, геодезической долготой и высотой Н по радиус вектору направленному с центра эллипсоида.

5.  Система координат с приведенной широтой. Если через точку А провести радиус вектор длинной «а» (большая полуось), таким образом чтобы он косался оси вращения в точки С, то угол между этим радиусом вектором и плоскостью экватора называется приведенной и обозначается U.

6.  Система прямоугольных сферических координат. Одной из осей системы является меридиан, а второй кривая линия перпендикулярная к меридиану в точке О. Положение точки D будет определяться криволинейными координатами p и q.

7.  Плоские прямоугольные координаты. Примером является система координат Гаусса –Крюгера.

Связь между системами координат.

a)  Связь между геоцентричными координатами и геодезической широтой.

b)  Связь между геодезичеой широтой и геоцентричной широтой.

с) Исходя из формулы и уравнения эллипса меридианного сечения. найдем завсимость между геоцентричной и геодезической широтами. ; , , ,

.

d) связь между приведеной и геодизическами широтами.

Чтобы установить эту связь найдем чуму равен отрезок AD. Z = AD*sin U. Y = AC*sin(90-U) = a*cos U. Подставим это значение в уравнение эллипса. , следовательно AD=d.

С помощью b можно установить зависимость между геодезической и приведенной широтой. Для вычисления dz и dy выразим z и y через приведенную широту. Z = b*sin U, y = a*cos U, dz =b*cosUdU, dy = - a*sinUdU. tg(90°-B) = .

Данная зависимость является базовой сферической геодезией при вычислении длинны дуг и координатных точек. Так зная приведенную широту и геодезическую долготу легко вычислить прямоугольные геоцентрические координаты.

Очевидно отрезок r перейдет на n следовательно у = r*sin L. Для вычисления z воспроизводят отрезок AD*b x = r*cos L, r = b*sin U. Для упрощения точку А перенесем в плоскость чертежа

r = a * cos n, следовательно

y = a*cosU*sinL

x=a*cosU*cosL

z=b*sinU

Эти формулы являются базовыми вычисления геоцентричных координат по геодезическим.

Вопрос 4.

При решении многих задач сферической геодезии используют дифференциальные и интегральные исчисления. Поэтому необходимо знать дифференциалы дуг вдоль меридиана и параллели.

Пусть имеется меридиан и параллель и элементарный отрезок ds. Обозначим азимут, обозначим элементарные вдоль меридиана и параллели. Поскольку это элементарный отрезок можно применить формулы тригонометрии.

dx = ds *cos A

dy = ds*sin A

С другой стороны можно выразить dx и dy через дифференциал долготы и широты.

dx = M*dB, где М – радиус меридиана на элементе dx.

Выразим радиус параллели через радиус меридиана в первой вертикали.

r= N cosB, dy = rdL, dx = MdB, следовательно можно записать соотношение между линейными элементами.

dx = ds*cosA=MdB. dy = ds*sinA=NcosBdL.

ds =

Эта формула называется первой квадратичной формулой поверхности эллипсоида.

Вопрос 5.

dx и dy располагаются соответственно вдоль меридиана и параллели. Это есть дифференциалы меридиана и параллели, а именно

dx=M·dB

dy=N·cosB·dL

На основе этих формул выведем длину дуги меридиана и параллели.

Длина дуги меридиана определяется интегрированием

.

Рассмотрим длину дуги меридиана.

В подынтегральном выражении значение М является радиусом меридиана в плоскости меридиана. Это значение зависит от широты.

Запишем без вывода

.

Тогда длина дуги

.