Программа учебной дисциплины дпп. ф.02 геометрия Направление подготовки 050200.62 Физико-математическое образование Профиль подготовки Математика (стр. 5 )

Аксиоматические построения Евклидовой геометрии. Аксиоматики школьного курса геометрии. Неевклидовы геометрии и измерение геометрических величин.

1.  Геометрическое истолкование уравнений и неравенств. Уравнение линии.

2.  Прямая как линия первого порядка.

3.  Уравнение прямой по различным заданиям в аффинной системе.

4.  Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

5.  Геометрический смысл знака трехчлена .

6.  Прямая в прямоугольной декартовой системе координат.

7.  Расстояние от точки до прямой.

8.  Угол между прямыми. Условие перпендикулярности прямых.

9.  Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения. Свойства.

10.  Эксцентриситет и директрисы эллипса. Директориальное свойство.

11.  Диаметры эллипса. Сопряженные диаметры.

12.  Касательная к эллипсу.

13.  Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения. Свойства. Асимптоты гиперболы.

14.  Парабола. Определение. Каноническое уравнение. Свойства.

15.  Диаметры параболы.

16.  Касательная к параболе. Оптическое свойство.

17.  Уравнение линий второго порядка в полярных координатах.

18.  Дедуктивное построение геометрии. «Начала» Евклида, их достоинства и недостатки.

19.  Свойства углов треугольника в абсолютной геометрии.

20.  Пятый постулат Евклида. Эквивалентность пятого постулата и аксиомы параллельности.

21.  Пятый постулат Евклида. Эквивалентность пятого постулата и предложения о сумме углов треугольника.

22.  Построение евклидовой геометрии по Гильберту. Аксиомы принадлежности и порядка. Следствия.

23.  Построение евклидовой геометрии по Гильберту. Аксиомы равенства. Следствия. Аксиомы непрерывности и параллельности.

24.  Геометрия Лобачевского. Система 2 аксиом планиметрии Лобачевского.

25.  Параллельные прямые на плоскости Лобачевского. Определение. Признак параллельности.

26.  Параллельные прямые на плоскости Лобачевского. Определение. Теорема существования.

27.  Параллельные прямые на плоскости Лобачевского. Угол параллельности.

28.  Расходящиеся прямые на плоскости Лобачевского. Свойства.

29.  Треугольники на плоскости Лобачевского.

30.  Построение Евклидовой геометрии по Вейлю.

31.  Непротиворечивость системы аксиом. Непротиворечивость аксиоматики Вейля.

32.  Непротиворечивость системы аксиом. Непротиворечивость системы аксиом планиметрии Лобачевского.

33.  Независимость аксиом. Независимость пятого постулата.

34.  Полнота системы аксиом.

35.  Длина отрезка. Существование длины.

36.  Длина отрезка. Теорема единственности.

37.  Площадь многоугольника. Теорема существования.

38.  Площадь многоугольника. Теорема единственности.

39.  Сферическая геометрия. Теорема синусов.

40.  Сферическая геометрия. Теорема косинусов.

41.  Сферическая геометрия. Площадь треугольника.

Вариант Контрольной работы №2

Задание 1. Дана линия .

Написать уравнения нормальной, соприкасающей и спрямляющей плоскости, касательной, главной нормали и бинормали, вычислить кривизну и кручение линии в точке .

Задание 2. Дана поверхность , на которой даны две линии

.

Найти угол между линиями в их точке пересечения.

Задание 3. Дана поверхность . Найти нормальную кривизну линии : в точке этой поверхности.

Задание 4. Найти полную и среднюю кривизну поверхности в точке .

Вопросы к экзамену

по теме: Элементы топологии и дифференциальной геометрии.

Метрическое пространство. Топологическое пространство. Примеры. Замкнутые множества. Граница множества. База топологии. Отделимость, связность, компактность. Непрерывные отображения, гомеоморфизм. Предмет топологии. Векторная функция скалярного аргумента. Понятие линии. Элементарная линия. Гладкие линии. Допустимые изменения параметра t. Касательная к линии. Теорема. Длина дуги линии. Естественная параметризация. Кривизна линии в естественной параметризации. Сопровождающий трехгранник линии. Формулы Френе. Кручение линии в естественной параметризации. Вычисление в каноническом репере кривизны и кручения линии в произвольной параметризации. Плоские линии. Теорема. Понятие элементарной поверхности. Простая поверхность. Гладкие поверхности. Замена параметризации. Касательная плоскость. Теорема. Нормаль к поверхности. Теорема. 1-ая квадратичная форма поверхности. Угол между линиями в гауссовой системе координат. Площадь поверхности. 2-ая квадратичная форма поверхности. Кривизна линии на поверхности. Нормальное сечение поверхности в данной точке. Индикатриса Дюпена. Классификация по виду индикатрисы. Главные кривизны. Полная и средняя (гауссова) кривизна поверхности. Примеры поверхностей постоянной кривизны. Изометрические поверхности. Теорема.