МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайская государственная академия образования имени »

(ФГБОУ ВПО «АГАО»)

Физико-математический факультет

Кафедра математики и методики обучения математике

ПРИНЯТО

Ученым советом
физико-математического факультета

Протокол № 9

от «29» июня 2012 г.

УТВЕРЖДАЮ

Первый проректор

______________

«29» июня 2012 г.

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ДПП. Ф.02 ГЕОМЕТРИЯ

Направление подготовки 050200.62 Физико-математическое образование

Профиль подготовки Математика

Степень (квалификация) бакалавр физико-математического образования

Форма обучения заочная

Составитель:

старший преподаватель

кафедры информатики

_________________

Бийск 2012

Программа составлена в соответствии с требованиями ГОС направлений и специальностей высшего профессионального образования, утвержденного Министерством образования и науки РФ от 01.01.2001 года и учебного плана по направлению подготовки 050200.62 Физико-математическое образование, утвержденного Ученым советом ФГБОУ ВПО «АГАО» (от 10 мая 2011 г., протокол № 8).

Распределение по семестрам

Номер семестра

Количество часов

Форма промежуточной - аттестации (зачет, экзамен)

Общий объем

В том числе

Аудиторные

Самостоятельная работа

Число курсовых проектов (работ), расчетных заданий

Всего

Из них

Лекции

Практ.

Лабор.

5

16

16

12

4

6

124

14

10

4

110

1

экзамен

7

110

110

1

экзамен

Всего

250

30

22

8

220

2

2 экзамена

Геометрия

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Фигуры первого и второго порядка на плоскости и в пространстве. Аксиоматические построения Евклидовой геометрии. Аксиоматики школьного курса геометрии. Неевклидовы геометрии и измерение геометрических величин. Элементы топологии и дифференциальной геометрии.

Протокол № 8 от «31» мая 2012 г.

Заведующий кафедрой _____________________

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Цель дисциплины - формирование систематических знаний в области геометрии и ее основных методов.

Задачи дисциплины:

-  познакомить как с групповой, так и со структурной точкой зрения на геометрию;

-  научить применять векторный и координатный метод для решения задач;

-  дать общее представление об элементах многомерной геометрии аффинного и евклидова пространства;

-  научить использовать знания топологии при определении линий, поверхностей, геометрических тел;

-  научить применять полученные знания для решения задач школьного курса геометрии.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Дисциплина «Геометрия» относится к циклу дисциплин профильной подготовки (ДПП. Ф.02). Курс геометрии строится на достаточно устоявшейся аксиоматике, из которой, естественно, можно получить любую возможную аксиоматику школьного курса геометрии. В качестве такой аксиоматики выбрана аксиоматика Г. Вейля.

3. Требования к результатам освоения дисциплины

В результате изучения дисциплины студент должен

знать:

─  дедуктивное построение математической теории, основные требования, которые предъявляются к системе аксиом;

─  сущность аналитического метода исследования в геометрии;

─  основные факты теории многомерных пространств;

─  основные факты проективной геометрии;

─  основные положения теории изображений;

─  основные факты топологии и дифференциальной геометрии;

─  основные понятия и строгие доказательства фактов основных разделов курса геометрии;

уметь:

─  ориентироваться в различных аксиоматиках школьного курса;

─  применять векторно-координатный метод при решении задач школьного курса геометрии;

─  применять идеи и методы проективной геометрии при решении задач элементарной геометрии;

─  применять основные положения теории изображений при построении изображений;

─  применять основные факты топологии и дифференциальной геометрии при исследовании конкретных линий и поверхностей.

─  применять теоретические знания к решению геометрических задач по курсу;

владеть:

─  различными приемами использования идеологии курса геометрии к доказательству теорем и решению задач школьного курса;

─  техникой применения векторной алгебры к решению геометрических задач, в частности, задач школьного курса геометрии;

─  теорией и практикой аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, в частности, решением задач на прямую и плоскость в пространстве, на линии второго порядка на плоскости, на поверхности второго порядка в пространстве, на преобразование плоскости и пространства;

─  теорией и практикой элементов аффинной и евклидовой геометрии плоскостей, в частности, методов изображений на плоскости плоских и пространственных фигур, и их применения к решению задач школьного курса геометрии;

─  теорией и практикой элементов проективной геометрии и их применения к решению задач школьного курса геометрии;

─  теорией и практикой элементов многомерной аффинной и евклидовой геометрий;

─  теорией и практикой оснований геометрии, т. е. основ аксиоматического построения геометрии, включая модель Г. Вейля трехмерного евклидова пространства;

─  теорией и практикой элементов геометрии плоскости Лобачевского вплоть до построения и анализа модели Кэли-Клейна плоскости Лобачевского включительно.

4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Модуль 1. Фигуры первого и второго порядка на плоскости и в пространстве.

Тема 1.1. Прямая линия на плоскости

Прямая как линия первого порядка. Различные способы задания прямой. Общее уравнение прямой. Взаимное расположение двух прямых. Геометрический смысл знака трехчлена .

Прямая в прямоугольной декартовой системе. Вектор нормали. Метрические задачи на прямую. Приложение к решению задач школьного курса геометрии.

Тема 1.2. Линии второго порядка

Эллипс. Определение, каноническое уравнение, свойства. Эксцентриситет и директрисы эллипса. Диаметры эллипса, касательная к эллипсу.

Гипербола: определение, каноническое уравнение, свойства. Асимптоты, диаметры, касательная.

Парабола. Определение, каноническое уравнение, свойства. Диаметры и касательная. Оптическое свойство.

Уравнения линий второго порядка в полярных координатах.

Модуль 2. Аксиоматические построения Евклидовой геометрии. Аксиоматики школьного курса геометрии. Неевклидовы геометрии и измерение геометрических величин.

Тема 2.1. Обоснование евклидовой геометрии. Элементы геометрии Лобачевского

Геометрия до Евклида и «Начала» Евклида, их достоинства и недостатки. Пятый постулат и попытки его доказательства.

Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии. Следствия.

Система аксиом планиметрии Лобачевского. Параллельные прямые на плоскости Лобачевского. Расходящиеся прямые. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского.

Тема 2.2. Общие вопросы аксиоматики

Понятие математической структуры.

Интерпретация системы аксиом. Непротиворечивость, независимость и полнота системы аксиом.

Непротиворечивость планиметрии Лобачевского.

Построение евклидовой геометрии по Вейлю. Непротиворечивость системы аксиом Вейля. Непротиворечивость системы аксиом Гильберта. Система аксиом школьного курса геометрии.

Тема 2.3. Длина отрезка, площадь многоугольника

Длина отрезка. Теорема существования и единственности.

Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.

Тема 2.4. Неевклидовы геометрии

Сферическая геометрия. Основные факты сферической геометрии.

Различные интерпретации планиметрии Лобачевского.

Понятие о геометрии Римана.

Модуль 3. Элементы топологии и дифференциальной геометрии.

Тема 3.1. Топологические пространства

Метрическое пространство. Топологическое пространство. Примеры. Замкнутые множества. Граница множества. База топологии.

Отделимость, связность, компактность. Непрерывные отображения, гомеоморфизм. Предмет топологии.

Тема 3.2. Линии в евклидовом пространстве

Векторная функция скалярного аргумента. Предел, непрерывность, производная.

Понятие линии. Задание линии. Гладкая линия. Касательная к линии. Длина дуги линии. Естественная параметризация.

Кривизна и кручение линии. Формулы Френе. Сопровождающий трехгранник. Плоские линии.

Тема 3.3. Поверхности в евклидовом пространстве

Векторная функция двух скалярных аргументов, их дифференцирование.

Понятие поверхности. Задание поверхности. Гладкие поверхности. Касательная плоскость и нормаль поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги линии на поверхности, угол между линиями на поверхности, площадь куска поверхности.

Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма. Главные кривизны поверхности. Полная и средняя кривизна поверхности. Поверхности постоянной полной кривизны.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5